Ensino Médio

Mensagem não lidapor **LaraD** » Ter 03 Ago, 2021 17:27 · Mensagem não lida por **LaraD** » Ter 03 Ago, 2021 17:27

Se as raízes de f(x)=3x³-14x²+ x+62=0 são a,b e c.Então, a soma dos algarismos do valor de 74([tex3]\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}[/tex3] é:
a)5
b)8
c)11
d)14
e)7

Resposta

c

[tex3]P(x) = 3x^3-14x^2+x+62[/tex3] , P(x) tem raízes a, b e c
P(x-3) tem raízes a+3=r, b+3=s e c+3=t
[tex3]P(x-3) = 27 x^3 - 439 x^2 + 1904 x - 2434[/tex3]
queremos calcular [tex3]\frac 1t+\frac 1r+\frac 1s=\frac{tr+ts+rs}{rst}[/tex3] mas podemos achar isso usando as relações de girard.
[tex3]rt+ts+rs=\frac{1904}{27}[/tex3]
[tex3]rst=-\frac{(-2434)}{27}[/tex3]

n sei onde errei, pode conferir o enunciado?

Mensagem não lidapor **Daleth** » Ter 03 Ago, 2021 20:31 · Mensagem não lida por **Daleth** » Ter 03 Ago, 2021 20:31

[tex3]\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}[/tex3]

Fazer o mmc de [tex3](a+3),(b+3),(c+3) = (a+3)(b+3)(c+3)[/tex3]

[tex3]\frac{(b+3)(c+3)+(a+3)(c+3)+(a+3)(b+3)}{(a+3)(b+3)(c+3)}[/tex3]

[tex3]\frac{(bc+3b+3c+9)+(ac+3a+3c+9)+(ab+3a+3b+9)}{(a+3)(b+3)(c+3)}[/tex3]

[tex3]\frac{(ab+ac+bc+6a+6b+6c+27)}{(a+3)(b+3)(c+3)}[/tex3]

[tex3]\frac{(ab+ac+bc+6a+6b+6c+27)}{(ab+3a+3b+9)(c+3)}[/tex3]

[tex3]\frac{(ab+ac+bc+6a+6b+6c+27)}{(abc+3ab+3ac+3bc+9a+9b+9c+27)}[/tex3]
Agora fatorando:

[tex3]\frac{ab+ac+bc+6(a+b+c)+27}{abc+3(ab+ac+bc)+9(a+b+c)+27}[/tex3]

Para finalizar temos que recorrer as relações de Girard em polinômio de 3º grau:
x1+x2+x3 = -b/a

x1.x2+ x1.x3+x2.x3 = c/a

x1.x2.x3 = -d/a
--------------------------------
x1+x2+x3 = -(-14)/3

x1.x2+ x1.x3+x2.x3 = 1/3

x1.x2.x3 = -62/3

Como a = x1, b = x2 e c = x3 temos:

a+b+c = -(-14)/3 = 14/3

a.b+ a.c+b.c = 1/3

a.b.c = -62/3

E através dessas relações vamos terminar:

[tex3]\frac{ab+ac+bc+6(a+b+c)+27}{abc+3(ab+ac+bc)+9(a+b+c)+27}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{1}{3}+6\frac{14}{3}+27}{\frac{-62}{3}+3\frac{1}{3}+9\frac{14}{3}+27}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{1}{3}+2.14+27}{\frac{-62}{3}+1+3.14+27}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{1}{3}+28+27}{\frac{-62}{3}+1+42+27}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{1}{3}+55}{\frac{-62}{3}+70}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{1+165}{3}}{\frac{-62+210}{3}}[/tex3]

[tex3]\frac{\frac{166}{3}}{\frac{148}{3}}[/tex3]

[tex3]\frac{166}{148}[/tex3]

A questão pede 74 vezes [tex3]\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}[/tex3] , então:

[tex3]74.\frac{166}{148}[/tex3]

[tex3]74.\frac{166}{74.2}[/tex3]

[tex3]\frac{166}{2}[/tex3]

[tex3]83[/tex3]

Soma dos algarismos: 8+3 = 11

Se algo ficou confuso pode falar que vou tentar esclarecer

Mensagem não lidapor **Daleth** » Ter 03 Ago, 2021 20:38 · Mensagem não lida por **Daleth** » Ter 03 Ago, 2021 20:38

Oi null, como vc foi de um polinômio para o outro? Teorema do resto?

errei no P(x-3)

[tex3]P(x-3)= 3 x^3 - 41 x^2 + 166 x - 148[/tex3]
por girard
[tex3]rt+ts+rs=\frac{166}{3}[/tex3]
[tex3]rst=-\frac{(-148)}{3}[/tex3]
[tex3]{166\cdot74\over148}=83[/tex3]

Daleth escreveu: ↑
Ter 03 Ago, 2021 20:38
Oi null, como vc foi de um polinômio para o outro? Teorema do resto?

fiz uma substituição de variáveis

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