Questões PerdidasSolucionário:Racso - Cap V - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:34 Tópico resolvido

Aqui ficará uma coletânea de questões antigas, com mais de 1 ano, que não foram respondidas ainda. Não é possível postar novas questões nesse fórum, apenas é possível resolver as que forem movidas para cá pelos moderadores.

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petras
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Solucionário:Racso - Cap V - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:34

Mensagem não lida por petras »

Problema Proposto
34 - Calcular "x" se AM = MC
Resposta

C) 48,5o
Anexos
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FelipeMartin
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Re: Solucionário:Racso - Cap V - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:34

Mensagem não lida por FelipeMartin »

vai na lei dos senos mesmo, sendo [tex3]BM = z[/tex3] e [tex3]AM = y = CM[/tex3] .

No [tex3]\triangle BAM[/tex3] :

[tex3]\frac{z}{\sen x} = \frac{y}{\sen (105^{\circ})} \iff \sen (x) = \sen (105^{\circ}) \cdot \frac zy[/tex3]

No [tex3]\triangle BMC[/tex3] :

[tex3]\frac{z}{\sen (60^{\circ} - x)} = \frac{y}{\sen (15^{\circ})} \iff \frac zy = \frac{\sen (60^{\circ}-x)}{\sen(15^{\circ})}[/tex3]

Portanto:

[tex3]\sen (x) = \sen (105^{\circ}) \cdot \frac{\sen (60^{\circ}-x)}{\sen(15^{\circ})} = \frac{(1+\sqrt3)^2}2 \cdot \sen(60^{\circ}-x) [/tex3]

[tex3]\sen (x) = (2+\sqrt3) \cdot \sen (60^{\circ} -x) = (2+\sqrt3) \cdot (\frac{\sqrt3}2 \cos (x) - \frac{\sen (x)}2)[/tex3]

[tex3]\sen (x) (2 + \frac{\sqrt3}2) = \frac{(3+2\sqrt3)}2 \cos (x)[/tex3]

[tex3]\tg (x) = \frac{3+2\sqrt3}{4 + \sqrt3} = \frac{6+5\sqrt3}{13}[/tex3] .

Logo, [tex3]\tg(2x) = \frac{2\tg(x)}{1-\tg^2(x)} = -\frac{(48 + 25\sqrt3)}{11}[/tex3]

Veja que [tex3]\tg(60^{\circ} + 37^{\circ}) = \frac{\tg (60^{\circ}) + \tg (37^{\circ})}{1 - \tg (60^{\circ}) \tg (37^{\circ})} = \frac{\sqrt3 + \frac34}{1 - \frac{3\sqrt3}4} = -\frac{(48 + 25\sqrt3)}{11}[/tex3] .

Logo [tex3]x = \frac{60^{\circ} + 37^{\circ}}2 = 48,5^{\circ}[/tex3]

boa sorte pra quem fizer por plana!



φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

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petras
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Re: Solucionário:Racso - Cap V - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:34

Mensagem não lida por petras »

FelipeMartin,
Muito bom ..vou ver se consigo uma resolução por geometria...



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petras
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Re: Solucionário:Racso - Cap V - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:34

Mensagem não lida por petras »

[tex3]Prolongar = AB\\
Traçar ~CF \perp AB\rightarrow \measuredangle CBF = 60^o\\
BC =a, AC = b ~e ~AB = c\\
Traçar~BN \perp AB\\
\triangle NBC: BN~ é ~bissetriz\rightarrow \frac{BN}{a}=\frac{NM}{\frac{b}{2}} (I)\\
\triangle ABN\sim \triangle AFC: \frac{AN}{b}=\frac{BN}{CF}=\frac{c}{AF}(II)\\
CF =\frac{\sqrt3a}{2}, BF = \frac{a}{2}\\
De(II):BN=\frac{\sqrt3a}{2b}AN\\
De(I):NM=\frac{b}{2a}BN\\
\therefore: NM=\frac{\sqrt3AN}{4}\\
AN+NM=\frac{b}{2}\rightarrow AN = \frac{2b}{4+\sqrt3}\\
De(II):\frac{2}{4+\sqrt3}=\frac{c}{c+\frac{a}{2}}\rightarrow c = (2-\sqrt3)a\\
\therefore AF = c+\frac{a}{2}=\frac{5-2\sqrt3a}{2}\\
tg(x) = \frac{CF}{AF} = \frac{\sqrt3}{5-2\sqrt3}=\frac{5\sqrt3+6}{13}\ \therefore \boxed{\color{red}x=48,5^o}
[/tex3]
(Solução: Math Lover)
Anexos
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