Ensino Médio ⇒ Posições relativas de reta e circunferência Tópico resolvido

[nat19]

A distância de uma reta s ao centro de uma circunferência de 7 cm de diâmetro é dada por (5x/2 + 3) cm. Estabeleça os valores de x para que a reta e a circunferência sejam:
a) tangentes
b) secantes
c) externas

Resposta

---

Gabarito:
a) x= 1/5
b) X deve ser maior ou igual a -6/5 e menor que 1/5
c) x>1/5

[CarlosBruno]

https://i.ytimg.com/vi/140oHKhJVb8/maxresdefault.jpg

Coloquei o link para uma imagem que facilitara a analise espacial do que irei utilizar.

a) Para que uma reta e uma circuferencia sejam tangentes, e necessario que eles tenham apenas um ponto em comum, logo de forma intuitiva a distancia entre a reta e a circunferencia so pode ser igual ao raio da mesma, ja que se for maior eles nao irao ter pontos em comum e se for menor eles terao dois pontos em comum. Assim teremos que: [tex3]\frac{5x}{2} + 3 = \frac{7}{2}\therefore \frac{5x}{2} = \frac{1}{2}\therefore 5x = 1 \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{1}{5}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5x}{2} + 3 = \frac{7}{2}\therefore \frac{5x}{2} = \frac{1}{2}\therefore 5x = 1 \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{1}{5}}[/tex3]

b) Usando o mesmo raciocinio apresentado na questao acima, para que eles sejam secantes a distancia entre a reta a circunferencia deve ser menor que o raio da mesma. Obs: distancia sempre sera positiva ou nula, logo distancia maior ou igual a zero. [tex3]0 \leq \frac{5x}{2} + 3 < \frac{7}{2}\therefore -3 \leq \frac{5x}{2} < \frac{1}{2}\therefore \frac{-6}{2} \leq \frac{5x}{2}<\frac{1}{2}\Leftrightarrow -6 \leq 5x<1\therefore \boxed{\frac{-6}{5} \leq x < \frac{1}{5}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0 \leq \frac{5x}{2} + 3 < \frac{7}{2}\therefore -3 \leq \frac{5x}{2} < \frac{1}{2}\therefore \frac{-6}{2} \leq \frac{5x}{2}<\frac{1}{2}\Leftrightarrow -6 \leq 5x<1\therefore \boxed{\frac{-6}{5} \leq x < \frac{1}{5}}[/tex3]

c) Terminamos a ultima alternativa com a distancia entre reta e circunferencia sendo maior que o raio da mesma, para que nao exista pontos em comum. Logo [tex3]\frac{5x}{2} + 3 > \frac{7}{2} \therefore \frac{5x}{2} > \frac{1}{2} \therefore 5x>1\Leftrightarrow \boxed{x >\frac{1}{5}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5x}{2} + 3 > \frac{7}{2} \therefore \frac{5x}{2} > \frac{1}{2} \therefore 5x>1\Leftrightarrow \boxed{x >\frac{1}{5}}[/tex3]

[petras]

nat19,

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[nat19]

Muito obrigada pela solução apresentada, CarlosBruno!
Entendi, petras. Vou mudar o título.