Ensino Médio

Mensagem não lidapor **ALDRIN** » Qua 25 Fev, 2009 10:28 · Mensagem não lida por **ALDRIN** » Qua 25 Fev, 2009 10:28

A Análise Combinatória não se ocupa apenas com a contagem de elementos de conjuntos. Muitas vezes, o que se deseja é determinar a existência ou não de conjuntos que satisfazem a certas propriedades.Uma ferramenta simples para resolver alguns desses problemas é o Princípio das gavetas de Dirichlet, cujo enunciado está descrito a seguir.

"Se [tex3]n[/tex3] objetos forem colocados em, no máximo, [tex3]n-1[/tex3] gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo menos dois objetos."

Com base nesse princípio e nos seus conhecimentos de Análise Combinatória e Geometria, julgue os itens abaixo.

(1) Escolhem-se [tex3]9[/tex3] pontos, ao acaso, no interior de um cubo de aresta [tex3]2\text{ cm}[/tex3] . Então, pelo menos um dos segmentos que eles determinam tem comprimento menor ou igual a [tex3]\sqrt{3}\text{ cm}[/tex3] .
(2) Se, em uma reunião, estão presentes exatamente [tex3]10[/tex3] pessoas, então existem pelo menos duas pessoas que conhecem o mesmo número de participantes (admita que "conhecer" seja uma relação simétrica, ou seja, se [tex3]a[/tex3] conhece [tex3]b[/tex3] , então [tex3]b[/tex3] conhece [tex3]a[/tex3] ).
(3) Considere um concurso aberto a qualquer brasileiro nato, cuja prova consta de [tex3]12[/tex3] questões de múltipla escolha, sendo que as dez primeiras têm cinco alternativas cada e as duas últimas têm dez alternativas cada. Nessas condições, pode-se afirmar que pelo menos duas pessoas irão responder do mesmo modo.

Resposta

[tex3]C,C,E[/tex3]

Mensagem não lidapor **ALDRIN** » Sex 24 Fev, 2012 20:43 · Mensagem não lida por **ALDRIN** » Sex 24 Fev, 2012 20:43

up!!!

ALDRIN,
Divindindo o cubo em 8 cubos menores, temos que o lado de cada cubo menor vai medir 1 cm.
Como temos 9 pontos, pelo PCP, podemos garantir que 2 pontos ficarão no mesmo cubo. A maior distância possível entre esses dois pontos ocorre quando eles estão nas pontas do cubo. Assim, a maior distância entre esses dois pontos, pelo Teorema de Pitágoras, vale [tex3]\sqrt3[/tex3] .
Fiz uma questão parecida há pouco, do IME, se necessário posso resolver o item 2.
Para o item 3, como ele não informou o número de pessoas que farão o exame, não podemos afirmar nada, na verdade, pensei mais... o total de maneiras distintas para se responder esses teste é [tex3]5^{10}×10^2[/tex3] . Para podermos afirmar o que é dito no item 3, a população brasileira deveria ser de, no mínimo, [tex3]5^{10}×10^2+1[/tex3] pessoas. Não temos esse tanto de gente!
Para o item 2... vou generalizar. Suponha que tivéssemos n pessoa!
Os objetos são as pessoas. As gavetas, naturalmente, são as quantidades de pessoas
conhecidas. Temos, no entanto, uma dificuldade: as possíveis quantidades de conhecidos são
0, 1, 2, …, n – 1. Assim, à primeira vista, temos n gavetas para n objetos, o que nos impede de
usar o princípio das gavetas. Note, porém, que as gavetas 0 e n – 1 não podem ser usadas
simultaneamente: se existir uma pessoa que não conhece nenhum participante, então não pode
existir um participante que conheça todos! Assim, uma das gavetas 0 ou n – 1 permanece
desocupada e os n objetos devem ser, portanto, distribuídos em n – 1 gavetas. Portanto, uma
delas será ocupada por pelo menos dois objetos, o que mostra que há duas pessoas que
conhecem exatamente o mesmo número de participantes.

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