)
a) sejam A e B matrizes nxn. Se A ou B é invertível, então [tex3]det(I_n-AB)=det(I_n-BA)[/tex3]
b) sejam A e B matrizes 2x2 com entradas inteiras tais que A, A+B, A+2B, A+3B, A+4B são todas matrizes invertíveis cujas inversas têm entradas inteiras. Então, A+5B é invertível e sua inversa tem entradas inteiras.
c) sejam A e B matrizes reais nxn, tais que A+B = AB. Então, A-I e B-I são matrizes invertíveis, sendo I a matriz identidade de ordem n.
d) seja M uma matriz nxn, n ímpar, tal que detM = 1 e [tex3]MM^t=I[/tex3] . Então, det(M-I)=0
e) seja A uma matriz quadrada nxn. A é invertível se, e somente se, não possui autovalor nulo.
f) seja A uma matriz 3x3 invertível tendo ela e sua inversa entradas inteiras. Então, |det(A)|=1
g) sejam A e B matrizes 3x3 com entradas inteiras tais que A, A+B, A+2B, A+3B, A+4B, A+5B, A+6B são todas matrizes invertíveis cujas inversas têm entradas inteiras. Então, A+2012B é invertível e sua inversa possui entradas inteiras.
