Ensino Médio ⇒ (FB) Desigualdades elementares Tópico resolvido

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Seja P(x) um polinômio com coeficientes reais positivos. Prove que, para quaisquer reais positivos a, b, temos que:

[tex3]\sqrt{P(a)P(b)}\geq P(\sqrt{ab})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{P(a)P(b)}\geq P(\sqrt{ab})[/tex3]

[Ittalo25]

Se [tex3]P(x) = y_nx_n +y_{n-1}x_{n-1}+....+y_1x+y_0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(x) = y_nx_n +y_{n-1}x_{n-1}+....+y_1x+y_0 [/tex3]

Pela desigualdade de cauchy:
[tex3]P(a) \cdot P(b) = ( ax_n +ax_{n-1}+....+ax+y_0)\cdot ( bx_n +bx_{n-1}+....+bx+y_0) \geq (\sqrt{ab}\sqrt{x^2_n}+\sqrt{ab}\sqrt{x^2_{n-1}}+....+\sqrt{ab}\sqrt{x^2}+\sqrt{y_0^2})^2 = P^2(\sqrt{ab})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(a) \cdot P(b) = ( ax_n +ax_{n-1}+....+ax+y_0)\cdot ( bx_n +bx_{n-1}+....+bx+y_0) \geq (\sqrt{ab}\sqrt{x^2_n}+\sqrt{ab}\sqrt{x^2_{n-1}}+....+\sqrt{ab}\sqrt{x^2}+\sqrt{y_0^2})^2 = P^2(\sqrt{ab})[/tex3]