Ensino Médio

Mensagem não lida por **nosbier** » 25 Mai 2021, 15:58

Considere o sistema [tex3]\begin{cases}
x.cos\alpha -y.sen\alpha =1 \\
x.sen\alpha +y.cos\alpha =1
\end{cases}[/tex3] , de incognitas x e y. O produto x.y é igual a:

Resposta: cos2 [tex3]\alpha [/tex3]

Tentei fazer, mas não consegui.

[tex3]\begin{cases}
x.\cos\alpha-y.\sen\alpha =1 \\
x.\sen\alpha+y.\cos\alpha=1
\end{cases}[/tex3]

Vamos isolar [tex3]x[/tex3] em ambas equações:
[tex3]x.\cos\alpha-y.\sen\alpha =1[/tex3]
[tex3]x =\frac{1+y.\sen\alpha}{\cos\alpha}[/tex3]

[tex3]x.\sen\alpha+y.\cos\alpha=1[/tex3]
[tex3]x=\frac{1-y.\cos\alpha}{\sen\alpha}[/tex3]

Igualando [tex3]x=x[/tex3]
[tex3]\frac{1+y.\sen\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1-y.\cos\alpha}{\sen\alpha}[/tex3]
[tex3]\sen\alpha.(1+y.\sen\alpha)=\cos\alpha.(1-y.\cos\alpha)[/tex3]
[tex3]\sen\alpha+y.\sen^2\alpha=\cos\alpha-y.\cos^2\alpha[/tex3]
[tex3]y.\sen^2\alpha+y.\cos^2\alpha=\cos\alpha-\sen\alpha[/tex3]
[tex3]y.(\sen^2\alpha+\cos^2\alpha)=\cos\alpha-\sen\alpha[/tex3]

Pela Relação Fundamental da Trigonometria, [tex3]\sen^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex3]
[tex3]y.(1)=\cos\alpha-\sen\alpha[/tex3]
[tex3]y=\cos\alpha-\sen\alpha[/tex3]

Substituindo essa informação em outra equação que encontramos anteriormente:
[tex3]x =\frac{1+(\cos\alpha-\sen\alpha).\sen\alpha}{\cos\alpha}[/tex3]
[tex3]x =\frac{1+\sen\alpha.\cos\alpha-\sen^2\alpha}{\cos\alpha}[/tex3]

Pela Relação Fundamental da Trigonometria (isolando o [tex3]\sen^2\alpha[/tex3] ), [tex3]\sen^2\alpha=1-\cos^2\alpha[/tex3]
[tex3]x =\frac{1+\sen\alpha.\cos\alpha-(1-\cos^2\alpha)}{\cos\alpha}[/tex3]
[tex3]x =\frac{1+\sen\alpha.\cos\alpha-1+\cos^2\alpha}{\cos\alpha}[/tex3]
[tex3]x =\frac{\cos^2\alpha+\sen\alpha.\cos\alpha}{\cos\alpha}[/tex3]
[tex3]x =\frac{\cos\alpha.(\cos\alpha+\sen\alpha)}{\cos\alpha}[/tex3]
[tex3]x =\cos\alpha+\sen\alpha[/tex3]

Fazendo a multiplicação pedida:
[tex3]x.y=(\cos\alpha+\sen\alpha).(\cos\alpha-\sen\alpha)[/tex3]
[tex3]x.y=\cos^2\alpha-\sen\alpha.\cos\alpha+\sen\alpha.\cos\alpha-\sen^2\alpha[/tex3]
[tex3]x.y=\cos^2\alpha-\sen^2\alpha[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{x.y=\cos(2.\alpha)}}[/tex3]

Ensino Médio ⇒ sistema de equações Tópico resolvido

sistema de equações

Re: sistema de equações

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