Ensino Médio ⇒ Demonstração trigonométrica Tópico resolvido

[Natan]

Prove a igualdade abaixo, e em seguida deduza [tex3]tg4a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg4a[/tex3]

em função de [tex3]tga.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tga.[/tex3]

[tex3]tg\, 3a=\frac{3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg\, 3a=\frac{3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}[/tex3]

[matbatrobin]

[tex3]\Large{tg(a+a)=\frac{tga+tga}{1-tga\cdot tga}=\frac{2tga}{1-tg^2a}\Rightarrow tg(2a+a)= \Large={\frac{\frac{2tga}{1-tg^2a}+tga}{1-\frac{2tga}{1-tg^2a}\cdot tga}}\Rightarrow tg(3a)=\frac{3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Large{tg(a+a)=\frac{tga+tga}{1-tga\cdot tga}=\frac{2tga}{1-tg^2a}\Rightarrow tg(2a+a)= \Large={\frac{\frac{2tga}{1-tg^2a}+tga}{1-\frac{2tga}{1-tg^2a}\cdot tga}}\Rightarrow tg(3a)=\frac{3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}[/tex3]

[tex3]\Large{tg(3a+a)={\frac{\frac{3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}+tga}{1-\frac{3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}\cdot tga}=\frac{\frac{tga-3tg^3a+3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}}{\frac{1-3tg^2a-(3tg^2a-tg^4a)}{1-3tg^2a}}\Rightarrow tg(4a)=\frac{-4tg^3a+4ta}{tg^4a-6tg^2a+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Large{tg(3a+a)={\frac{\frac{3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}+tga}{1-\frac{3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}\cdot tga}=\frac{\frac{tga-3tg^3a+3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}}{\frac{1-3tg^2a-(3tg^2a-tg^4a)}{1-3tg^2a}}\Rightarrow tg(4a)=\frac{-4tg^3a+4ta}{tg^4a-6tg^2a+1}[/tex3]

[petras]

Fazendo a correção do latex:

[tex3]\Large{tg(a+a)=\frac{tga+tga}{1-tga\cdot tga}=\frac{2tga}{1-tg^2a}}\\
tg(2a+a) \Large={\frac{\frac{2tga}{1-tg^2a}+tga}{1-[\frac{2tga}{1-tg^2a}\cdot tga]}}=\frac{\frac{2tga+tga-tg^3a}{1-tg^2a}}{\frac{1-tg^2a-2tg^2a}{1-tg^2a}}
\\
\boxed{tg(3a)\frac{3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}}\\
\Large{tg(3a+a)={\frac{\frac{3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}+tga}{1-[\frac{3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}\cdot tga]}}}
=\frac{\frac{tga-3tg^3a+3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}}{\frac{1-3tg^2a-(3tg^2a-tg^4a)}{1-3tg^2a}}\\
\Rightarrow \boxed{tg(4a)=\frac{-4tg^3a+4ta}{tg^4a-6tg^2a+1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Large{tg(a+a)=\frac{tga+tga}{1-tga\cdot tga}=\frac{2tga}{1-tg^2a}}\\
tg(2a+a) \Large={\frac{\frac{2tga}{1-tg^2a}+tga}{1-[\frac{2tga}{1-tg^2a}\cdot tga]}}=\frac{\frac{2tga+tga-tg^3a}{1-tg^2a}}{\frac{1-tg^2a-2tg^2a}{1-tg^2a}}
\\
\boxed{tg(3a)\frac{3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}}\\
\Large{tg(3a+a)={\frac{\frac{3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}+tga}{1-[\frac{3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}\cdot tga]}}}
=\frac{\frac{tga-3tg^3a+3tga-tg^3a}{1-3tg^2a}}{\frac{1-3tg^2a-(3tg^2a-tg^4a)}{1-3tg^2a}}\\
\Rightarrow \boxed{tg(4a)=\frac{-4tg^3a+4ta}{tg^4a-6tg^2a+1}}[/tex3]