Ensino Médio ⇒ (FB) Sequências Tópico resolvido

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Se numa PA a soma dos m primeiros termos é igual a soma dos n primeiros termos, m diferente de n, mostre que a soma dos m+n primeiros termos é igual a zero.

[παθμ]

[tex3]S_n=\frac{(2a_1+(n-1)r)n}{2}=\frac{(2a_1+(m-1)r)m)}{2} \Longrightarrow r(m^2-m)=2a_1(n-m)+r(n^2-n).[/tex3]

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[tex3]S_n=\frac{(2a_1+(n-1)r)n}{2}=\frac{(2a_1+(m-1)r)m)}{2} \Longrightarrow r(m^2-m)=2a_1(n-m)+r(n^2-n).[/tex3]

(Eq. 1)

[tex3]S_{m+n}=\frac{(2a_1+(m+n-1)r)(m+n)}{2}=\frac{2a_1(m+n)+(m^2+2mn+n^2-m-n)r}{2}.[/tex3]

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[tex3]S_{m+n}=\frac{(2a_1+(m+n-1)r)(m+n)}{2}=\frac{2a_1(m+n)+(m^2+2mn+n^2-m-n)r}{2}.[/tex3]

(Eq. 2)

Substituindo (1) em (2) vem:

[tex3]S_{m+n}=\frac{2a_1(m+n)+2mnr+2a_1(n-m)+2r(n^2-n)}{2}=n(2a_1+r(m+n-1)).[/tex3]

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[tex3]S_{m+n}=\frac{2a_1(m+n)+2mnr+2a_1(n-m)+2r(n^2-n)}{2}=n(2a_1+r(m+n-1)).[/tex3]

Mas [tex3]2a_1+(m+n-1)r=\frac{2S_{m+n}}{m+n},[/tex3]

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[tex3]2a_1+(m+n-1)r=\frac{2S_{m+n}}{m+n},[/tex3]

então:

[tex3]S_{m+n}=\frac{2nS_{m+n}}{m+n}.[/tex3]

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[tex3]S_{m+n}=\frac{2nS_{m+n}}{m+n}.[/tex3]

Se [tex3]S_{m+n} \neq 0,[/tex3]

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[tex3]S_{m+n} \neq 0,[/tex3]

teríamos [tex3]1=\frac{2n}{m+n} \Longrightarrow m=n,[/tex3]

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[tex3]1=\frac{2n}{m+n} \Longrightarrow m=n,[/tex3]

absurdo. Portanto, [tex3]S_{m+n}=0,[/tex3]

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[tex3]S_{m+n}=0,[/tex3]

C.Q.D