Ensino Médio ⇒ PUC - Propriedade e Soma dos Termos de uma PA

[Viytor]

Dois veículos partiram simultaneamente de dois locais distintos de uma rodovia, distantes entre si 900 km, um em direção ao outro. Sabe-se que, da partida até o instante em que se cruzaram na rodovia: – um dos veículos rodou à velocidade média de 75 km/h; – o outro rodou 50 km na primeira hora de percurso, 60 km na segunda, 70 km na terceira e, assim, sucessivamente, segundo os termos de uma progressão aritmética. Nessas condições, considerando que nenhum dos dois veículos parou durante o trajeto, quanto tempo decorreu até que eles se cruzassem na rodovia?

a) 5 horas e 30 minutos.
b) 6 horas.
c) 7 horas.
d) 8 horas e 30 minutos.
e) 10 horas e 30 minutos

Resposta

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Alternativa B

[petras]

Viytor,
A(50, 60, 70...) PA, r = 10
B(75)
Origem em A
tempo (t=n) em horas

[tex3]\mathsf{S_B = 900-75t\\
S_A=\frac{(a_1+a_t)t}{2}=\frac{(50+a_t).t}{2}\\
a_t=a_1+(t-1)r=50+(t-1)10\rightarrow a_t=40+10t\\
Substituindo: S_A=\frac{(50+40+10t)t}{2}=\frac{(90+10t)t}{2}\\
S_A=S_B\rightarrow \frac{(90+10t)t}{2}=900-75t \\
90t+10t^2=1800-150t\rightarrow 10t^2+240t-1800=0\\
t^2+24-180=0\rightarrow \cancel{ t= -30} ou\ \boxed{\color{red} t = 6h}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{S_B = 900-75t\\
S_A=\frac{(a_1+a_t)t}{2}=\frac{(50+a_t).t}{2}\\
a_t=a_1+(t-1)r=50+(t-1)10\rightarrow a_t=40+10t\\
Substituindo: S_A=\frac{(50+40+10t)t}{2}=\frac{(90+10t)t}{2}\\
S_A=S_B\rightarrow \frac{(90+10t)t}{2}=900-75t \\
90t+10t^2=1800-150t\rightarrow 10t^2+240t-1800=0\\
t^2+24-180=0\rightarrow \cancel{ t= -30} ou\ \boxed{\color{red} t = 6h}}[/tex3]