Ensino MédioÁrea do triângulo por determinante Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
florestinha89
Avançado
Mensagens: 106
Registrado em: Sáb 18 Abr, 2020 11:45
Última visita: 10-10-23
Mai 2021 13 16:25

Área do triângulo por determinante

Mensagem não lida por florestinha89 »

Minha dúvida é conceitual. No meu material teórico diz que para se calcular a área de um triângulo de vértices A([tex3]x_{a}[/tex3] , [tex3]y_{a}[/tex3] ), B([tex3]x_{b}[/tex3] , [tex3]y_{b}[/tex3] ) e C([tex3]x_{c}[/tex3] , [tex3]y_{c}[/tex3] )[tex3]faz-se:

\begin{pmatrix}
x_{a} & y_{a} & 1 \\
x_{b} & y_{b} & 1 \\
x_{c} & y_{c} & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Área = (1/2)*Det

Minha dúvida é a seguinte, caso eu tenha os vértices e não saiba quem é a, b ou c. Faz diferença a ordem das linhas que coloco para calcular o determinante? Porque estou fazendo um exercício que alternando as ordens das linhas não dão a mesma resposta. Por que isso? Alguém poderia me explicar?




Avatar do usuário
NathanMoreira
3 - Destaque
Mensagens: 439
Registrado em: Dom 11 Out, 2020 19:21
Última visita: 10-11-22
Mai 2021 13 16:29

Re: Área do triângulo por determinante

Mensagem não lida por NathanMoreira »

Em teoria, a ordem das coordenadas não faz diferença. O resultado é para ser o mesmo. Poste o exercício para eu dar uma olhada.



Dou aulas particulares de matemática.
Para mais informações, entre em contato comigo:

Whatsapp: (18) 99164-4128

Avatar do usuário
Autor do Tópico
florestinha89
Avançado
Mensagens: 106
Registrado em: Sáb 18 Abr, 2020 11:45
Última visita: 10-10-23
Mai 2021 13 16:43

Re: Área do triângulo por determinante

Mensagem não lida por florestinha89 »

(UFMG) Observe a figura.
areatrideterminante.png
areatrideterminante.png (3.97 KiB) Exibido 1563 vezes
Nessa figura, a reta AC intercepta o eixo das abscissas no ponto (-1/2,0), e a área do triângulo de vértices A, B e C é 10. Então, a ordenada do ponto B é:
a) [tex3]\frac{20}{11}[/tex3]
b) [tex3]\frac{31}{11}[/tex3]
c) 4
d) 5
e) 6

Gabarito:
Resposta

D
Calculei o coeficiente angular da reta e deu 2. Calculei a equação da reta e encontrei -2x + y -1 = 0 e com ela encontrei o ponto A (0,1) fazendo x=0
Aí na hora de calcular o determinante que é o problema. Quando eu faço:

[tex3]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & y_{b} & 1 \\
5 & 11 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Dá 5 - 5y = Det
Det/2 = 10
(5 - 5y)/2 = 10
y = -3

Quando faço:
[tex3]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
5 & 11 & 1 \\
0 & y_{b} & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Dá 5y - 5 = det
Det/2 = 10
(5 - 5y)/2 = 10
y = 5 que é a resposta correta

Parece besteira, mas tô o dia todo tentando entender isso. Calculo o determinante repetindo as duas primeiras colunas e multiplicando cruzado



Avatar do usuário
NathanMoreira
3 - Destaque
Mensagens: 439
Registrado em: Dom 11 Out, 2020 19:21
Última visita: 10-11-22
Mai 2021 13 19:10

Re: Área do triângulo por determinante

Mensagem não lida por NathanMoreira »

O seu equívoco é que você esqueceu do módulo. A fórmula é o seguinte:
[tex3]\text{Area}=\frac{|\text{Determinante}|}{2}[/tex3]

Então, ficaria:
[tex3]\frac{|-5.y_b+5|}{2}=10[/tex3]
[tex3]|-5.y_b+5|=20[/tex3]

Como não sabemos se o que está dentro do módulo é positivo ou negativo, fazemos os dois casos possíveis:

1) Se tudo é positivo, apenas retiramos o módulo e resolvemos a equação:
[tex3]-5.y_b+5=20[/tex3]
[tex3]-5.y_b=15[/tex3]
[tex3]y_b=-3[/tex3]

Note que isso é um absurdo, visto que a coordenada em y do ponto B está, pelo gráfico, nitidamente na parte positiva do plano cartesiano.

2) Se é negativo, trocamos os sinais do que está dentro do módulo:
[tex3]5.y_b-5=20[/tex3]
[tex3]5.y_b=25[/tex3]
[tex3]\boxed{y_b=5}[/tex3]

E essa é a resposta.


Dou aulas particulares de matemática.
Para mais informações, entre em contato comigo:

Whatsapp: (18) 99164-4128

Avatar do usuário
Autor do Tópico
florestinha89
Avançado
Mensagens: 106
Registrado em: Sáb 18 Abr, 2020 11:45
Última visita: 10-10-23
Mai 2021 13 19:30

Re: Área do triângulo por determinante

Mensagem não lida por florestinha89 »

NathanMoreira, Agradeço de coração. Estou lutando pra estudar sozinha e ás vezes travo em umas coisas assim. Você salvou, te desejo tudo de bom na sua vida e sucesso




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem Área do triângulo e as 3 alturas de um triângulo
    por Carlosft57 » » em Ensino Médio
    1 Respostas
    3449 Exibições
    Última msg por Carlosft57
  • Nova mensagem (UNIFOR-CE) Determinante
    por Harison » » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    466 Exibições
    Última msg por careca
  • Nova mensagem (ESPM-SP) Determinante
    por Harison » » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    904 Exibições
    Última msg por careca
  • Nova mensagem (Mackenzie) Determinante
    por Harison » » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    571 Exibições
    Última msg por AnthonyC
  • Nova mensagem (FGV) Determinante
    por Harison » » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    812 Exibições
    Última msg por Deleted User 23699

Voltar para “Ensino Médio”