Ensino Médio ⇒ coordenadas cartesianas ortogonais Tópico resolvido

[simonecig]

Um arquiteto é contratado para projetar um jardim em forma triangular MNP. Após análise da planta baixa da área destinada ao jardim, ele a  associa a um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. O ponto de partida na concepção desse projeto é determinar um ponto C que seja equidistante dos vértices M(8,11), N(-6,9) e P(-4,-5) desse triãngulo, pois nesse ponto será plantada uma bela árvore florida. Para tanto, o arquiteto determinou o ponto:

a. C(2,0)

b. C(0,3)

c. C(3,0)

d. C(0,2)

e. C(2,3)

[petras]

simonecig,

O ponto equidistante dos vértices será o circuncentro, que é o encontro da mediatrizes.
Portanto basta calcular a equação da reta de duas das mediatrizes e fazer a interseção delas.

[tex3]\mathsf{ \text {Coeficiente angular da reta MN}:\\

M(8,11),\ N(-6,9)\ \rightarrow m_{MN}=\frac{9-11}{-6-8}\rightarrow m_{MN}=\frac{1}{7}\\

\text{Seja A onde a mediatriz corta MN:}\\

A\left(\frac{8-6}{2},\frac{11+9}{2}\right)=A\left(1,10\right)\\

\text{O coeficiente angular da mediatriz} \perp MN:\\

m'=-\frac{1}{m_{MN}}\rightarrow m'=-\frac{1}{\frac{1}{7}}\rightarrow m'=-7\\

\text{Equação de reta da mediatriz do lado MN:}\\

y-10=-7(x-1)\rightarrow \boxed{7x+y=17}\\

\text{Coeficiente angular da reta PM:}\\

P(-4,-5),\ M(8,11)\ \rightarrow m_{PM}=\frac{11+5}{8+4}\rightarrow m_{PM}=\frac{4}{3}\\

\text{Seja B onde a mediatriz corta PM.}\\

B\left(\frac{8-4}{2},\frac{11-5}{2}\right)=B\left(2,3\right)\\

\text{Coeficiente angular da mediatriz} \perp PM:\\

m''=-\frac{1}{m_{PM}}\rightarrow m''=\frac{-1}{\frac{4}{3}}\rightarrow m''=-\frac{3}{4}\\

\text{Equação de reta da mediatriz do lado PM:}\\

y-3=-\frac{3}{4}(x-2)\rightarrow \boxed{4y+3x = -18}\\
\text{Fazendo a interseção das duas retas:}

\begin{cases}
7x+y=17 \\
3x+4y=18
\end{cases}\ \therefore\boxed{\color{red} {O(2,3)}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{ \text {Coeficiente angular da reta MN}:\\

M(8,11),\ N(-6,9)\ \rightarrow m_{MN}=\frac{9-11}{-6-8}\rightarrow m_{MN}=\frac{1}{7}\\

\text{Seja A onde a mediatriz corta MN:}\\

A\left(\frac{8-6}{2},\frac{11+9}{2}\right)=A\left(1,10\right)\\

\text{O coeficiente angular da mediatriz} \perp MN:\\

m'=-\frac{1}{m_{MN}}\rightarrow m'=-\frac{1}{\frac{1}{7}}\rightarrow m'=-7\\

\text{Equação de reta da mediatriz do lado MN:}\\

y-10=-7(x-1)\rightarrow \boxed{7x+y=17}\\

\text{Coeficiente angular da reta PM:}\\

P(-4,-5),\ M(8,11)\ \rightarrow m_{PM}=\frac{11+5}{8+4}\rightarrow m_{PM}=\frac{4}{3}\\

\text{Seja B onde a mediatriz corta PM.}\\

B\left(\frac{8-4}{2},\frac{11-5}{2}\right)=B\left(2,3\right)\\

\text{Coeficiente angular da mediatriz} \perp PM:\\

m''=-\frac{1}{m_{PM}}\rightarrow m''=\frac{-1}{\frac{4}{3}}\rightarrow m''=-\frac{3}{4}\\

\text{Equação de reta da mediatriz do lado PM:}\\

y-3=-\frac{3}{4}(x-2)\rightarrow \boxed{4y+3x = -18}\\
\text{Fazendo a interseção das duas retas:}

\begin{cases}
7x+y=17 \\
3x+4y=18
\end{cases}\ \therefore\boxed{\color{red} {O(2,3)}}}[/tex3]