Ensino Médio ⇒ Matrizes Tópico resolvido

[FISMAQUIM]

Sendo M = [tex3]\begin{pmatrix}
x & -x \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
x & -x \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

uma matriz com elementos reais, determine a soma dos valores de x para que equação M + [tex3]M^{-1} = I_{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M^{-1} = I_{2}[/tex3]

seja satisfeita.
*[tex3]I_{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]I_{2}[/tex3]

(Matriz identidade de ordem 2).

a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2

[iammaribrg]

Pela propriedade, M [tex3]\cdot [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cdot [/tex3]

[tex3]M^{-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M^{-1}[/tex3]

= [tex3]I_{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]I_{2}[/tex3]

. Então:
[tex3]\begin{pmatrix}
x & -x \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
x & -x \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]\cdot [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cdot [/tex3]

[tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}[/tex3]

= [tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\\
\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}
x(a-c) & x(b-d) \\
a & b \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\\
\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}
x(a-c) & x(b-d) \\
a & b \\
\end{pmatrix}[/tex3]

= [tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

, a=0, b= 1, c= -[tex3]\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]

e d=1.
Somando agora:
[tex3]\begin{pmatrix}
x & -x \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-\frac{1}{x} & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
x & -x \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-\frac{1}{x} & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

= [tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-\frac{1}{x} & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-\frac{1}{x} & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

. Se fizer a soma e igualar as entradas, x=1. Então eu creio que a resposta seja letra D. Confere?

[FISMAQUIM]

Pela propriedade, M [tex3]\cdot [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cdot [/tex3]

[tex3]M^{-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M^{-1}[/tex3]

= [tex3]I_{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]I_{2}[/tex3]

. Então:
[tex3]\begin{pmatrix}
x & -x \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
x & -x \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]\cdot [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cdot [/tex3]

[tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}[/tex3]

= [tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\\
\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}
x(a-c) & x(b-d) \\
a & b \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1\\
\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}
x(a-c) & x(b-d) \\
a & b \\
\end{pmatrix}[/tex3]

= [tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

, a=0, b= 1, c= -[tex3]\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{1}{x}\right)[/tex3]

e d=1.
Somando agora:
[tex3]\begin{pmatrix}
x & -x \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-\frac{1}{x} & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
x & -x \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-\frac{1}{x} & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

= [tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-\frac{1}{x} & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-\frac{1}{x} & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

. Se fizer a soma e igualar as entradas, x=1. Então eu creio que a resposta seja letra D. Confere?

Faz muito sentido. Obrigado