DETERMINE OS VALORES DE X QUE TORNAM IGUAIS O QUARTO E O QUINTO TERMOS NO DESENVOLVIMENTO DE (X/2 - 1/X-3) ELEVADO A 7.
RESPOSTA 1 E 2
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
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Ensino Médio ⇒ BINOMIO DE NEWTON Tópico resolvido
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NathanMoreira
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Mai 2021
05
15:08
Re: BINOMIO DE NEWTON
Para resolver esse problema, vamos usar a fórmula para calcular o termo geral para o quarto e quinto termo e igualá-los.
[tex3]\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{x-3}\right)^7[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{p+1}}={\text{n} \choose \text{p}}.\text{a}^{\text{n-p}}.\text{b}^{\text{p}}[/tex3]
Quarto termo:
Sendo:
[tex3]\text{p}=3[/tex3]
[tex3]\text{n}=7[/tex3]
[tex3]\text{a}=\frac{x}{2}[/tex3]
[tex3]\text{b}=-\frac{1}{x-3}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{3+1}}={\text{7} \choose \text{3}}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{7-3}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
Desenvolvendo, ficamos com:
[tex3]\text{T}_{\text{4}}=\frac{7!}{4!.3!}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{4}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{4}}=\frac{35.x^{\text{4}}}{16}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
Quinto termo:
[tex3]\text{p}=4[/tex3]
[tex3]\text{n}=7[/tex3]
[tex3]\text{a}=\frac{x}{2}[/tex3]
[tex3]\text{b}=-\frac{1}{x-3}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{4+1}}={\text{7} \choose \text{4}}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{7-4}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}[/tex3]
Desenvolvendo, ficamos com:
[tex3]\text{T}_{\text{5}}=\frac{7!}{3!.4!}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{3}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{5}}=\frac{35.x^{\text{3}}}{8}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}[/tex3]
Igualando:
[tex3]\text{T}_{\text{5}}=\text{T}_{\text{4}}[/tex3]
[tex3]\frac{35.x^{\text{3}}}{8}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}=\frac{35.x^{\text{4}}}{16}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
[tex3]\frac{35.x^{\text{3}}}{8}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)=\frac{35.x^{\text{4}}}{16}[/tex3]
[tex3]-\frac{35.x^{\text{3}}}{x-3}=\frac{35.x^{\text{4}}}{2}[/tex3]
[tex3]-70.x^3=35.x^4.(x-3)[/tex3]
[tex3]-70.x^3=35.x^5-105.x^4[/tex3]
[tex3]35.x^5-105.x^4+70.x^3=0[/tex3]
Colocando [tex3]35.x^3[/tex3] em evidência:
[tex3]35.x^3(x-1).(x-2)=0[/tex3]
[tex3]35.x^3=0[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\boxed{x=0}[/tex3]
[tex3]x-1=0[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\boxed{x=1}[/tex3]
[tex3]x-2=0[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\boxed{x=2}[/tex3]
[tex3]\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{x-3}\right)^7[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{p+1}}={\text{n} \choose \text{p}}.\text{a}^{\text{n-p}}.\text{b}^{\text{p}}[/tex3]
Quarto termo:
Sendo:
[tex3]\text{p}=3[/tex3]
[tex3]\text{n}=7[/tex3]
[tex3]\text{a}=\frac{x}{2}[/tex3]
[tex3]\text{b}=-\frac{1}{x-3}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{3+1}}={\text{7} \choose \text{3}}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{7-3}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
Desenvolvendo, ficamos com:
[tex3]\text{T}_{\text{4}}=\frac{7!}{4!.3!}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{4}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{4}}=\frac{35.x^{\text{4}}}{16}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
Quinto termo:
[tex3]\text{p}=4[/tex3]
[tex3]\text{n}=7[/tex3]
[tex3]\text{a}=\frac{x}{2}[/tex3]
[tex3]\text{b}=-\frac{1}{x-3}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{4+1}}={\text{7} \choose \text{4}}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{7-4}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}[/tex3]
Desenvolvendo, ficamos com:
[tex3]\text{T}_{\text{5}}=\frac{7!}{3!.4!}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{3}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{5}}=\frac{35.x^{\text{3}}}{8}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}[/tex3]
Igualando:
[tex3]\text{T}_{\text{5}}=\text{T}_{\text{4}}[/tex3]
[tex3]\frac{35.x^{\text{3}}}{8}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}=\frac{35.x^{\text{4}}}{16}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
[tex3]\frac{35.x^{\text{3}}}{8}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)=\frac{35.x^{\text{4}}}{16}[/tex3]
[tex3]-\frac{35.x^{\text{3}}}{x-3}=\frac{35.x^{\text{4}}}{2}[/tex3]
[tex3]-70.x^3=35.x^4.(x-3)[/tex3]
[tex3]-70.x^3=35.x^5-105.x^4[/tex3]
[tex3]35.x^5-105.x^4+70.x^3=0[/tex3]
Colocando [tex3]35.x^3[/tex3] em evidência:
[tex3]35.x^3(x-1).(x-2)=0[/tex3]
[tex3]35.x^3=0[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\boxed{x=0}[/tex3]
[tex3]x-1=0[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\boxed{x=1}[/tex3]
[tex3]x-2=0[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\boxed{x=2}[/tex3]
Dou aulas particulares de matemática.
Para mais informações, entre em contato comigo:
Whatsapp: (18) 99164-4128
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NathanMoreira
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Mai 2021
05
16:11
Re: BINOMIO DE NEWTON
Seguindo por outro caminho podemos ver que [tex3]x=0[/tex3]
não é possível. Perceba que [tex3]\text{T}_4[/tex3]
e [tex3]\text{T}_5[/tex3]
também podem ser escrito como:
[tex3]\text{T}_4=35.\left(\frac{x}{2}\right)^4.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^3[/tex3]
[tex3]\text{T}_5=35.\left(\frac{x}{2}\right)^3.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^4[/tex3]
Igualando:
[tex3]35.\left(\frac{x}{2}\right)^4.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^3=35.\left(\frac{x}{2}\right)^3.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^4[/tex3]
[tex3]\left(\frac{x}{2}\right)^4.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^3=\left(\frac{x}{2}\right)^3.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^4[/tex3]
Aqui podemos ver duas restrições para x
1) Ao dividir ambos os lados por [tex3]\left(\frac{x}{2}\right)^3[/tex3] , que precisa ser diferente de zero, implicando em [tex3]x\neq 0[/tex3] .
2) O [tex3]x-3[/tex3] do denominador da fração [tex3]-\frac{1}{x-3}[/tex3] não pode ser igual a zero, implicando em [tex3]x\neq 3[/tex3] .
Portanto, as únicas soluções válidas são:
[tex3]\boxed{x=1}[/tex3]
[tex3]\boxed{x=2}[/tex3]
[tex3]\text{T}_4=35.\left(\frac{x}{2}\right)^4.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^3[/tex3]
[tex3]\text{T}_5=35.\left(\frac{x}{2}\right)^3.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^4[/tex3]
Igualando:
[tex3]35.\left(\frac{x}{2}\right)^4.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^3=35.\left(\frac{x}{2}\right)^3.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^4[/tex3]
[tex3]\left(\frac{x}{2}\right)^4.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^3=\left(\frac{x}{2}\right)^3.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^4[/tex3]
Aqui podemos ver duas restrições para x
1) Ao dividir ambos os lados por [tex3]\left(\frac{x}{2}\right)^3[/tex3] , que precisa ser diferente de zero, implicando em [tex3]x\neq 0[/tex3] .
2) O [tex3]x-3[/tex3] do denominador da fração [tex3]-\frac{1}{x-3}[/tex3] não pode ser igual a zero, implicando em [tex3]x\neq 3[/tex3] .
Portanto, as únicas soluções válidas são:
[tex3]\boxed{x=1}[/tex3]
[tex3]\boxed{x=2}[/tex3]
Editado pela última vez por NathanMoreira em 05 Mai 2021, 16:15, em um total de 2 vezes.
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