DETERMINE OS VALORES DE X QUE TORNAM IGUAIS O QUARTO E O QUINTO TERMOS NO DESENVOLVIMENTO DE (X/2 - 1/X-3) ELEVADO A 7.
RESPOSTA 1 E 2
Ensino Médio ⇒ BINOMIO DE NEWTON Tópico resolvido
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NathanMoreira 
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Mai 2021
05
15:08
Re: BINOMIO DE NEWTON
Para resolver esse problema, vamos usar a fórmula para calcular o termo geral para o quarto e quinto termo e igualá-los.
[tex3]\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{x-3}\right)^7[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{p+1}}={\text{n} \choose \text{p}}.\text{a}^{\text{n-p}}.\text{b}^{\text{p}}[/tex3]
Quarto termo:
Sendo:
[tex3]\text{p}=3[/tex3]
[tex3]\text{n}=7[/tex3]
[tex3]\text{a}=\frac{x}{2}[/tex3]
[tex3]\text{b}=-\frac{1}{x-3}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{3+1}}={\text{7} \choose \text{3}}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{7-3}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
Desenvolvendo, ficamos com:
[tex3]\text{T}_{\text{4}}=\frac{7!}{4!.3!}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{4}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{4}}=\frac{35.x^{\text{4}}}{16}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
Quinto termo:
[tex3]\text{p}=4[/tex3]
[tex3]\text{n}=7[/tex3]
[tex3]\text{a}=\frac{x}{2}[/tex3]
[tex3]\text{b}=-\frac{1}{x-3}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{4+1}}={\text{7} \choose \text{4}}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{7-4}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}[/tex3]
Desenvolvendo, ficamos com:
[tex3]\text{T}_{\text{5}}=\frac{7!}{3!.4!}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{3}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{5}}=\frac{35.x^{\text{3}}}{8}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}[/tex3]
Igualando:
[tex3]\text{T}_{\text{5}}=\text{T}_{\text{4}}[/tex3]
[tex3]\frac{35.x^{\text{3}}}{8}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}=\frac{35.x^{\text{4}}}{16}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
[tex3]\frac{35.x^{\text{3}}}{8}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)=\frac{35.x^{\text{4}}}{16}[/tex3]
[tex3]-\frac{35.x^{\text{3}}}{x-3}=\frac{35.x^{\text{4}}}{2}[/tex3]
[tex3]-70.x^3=35.x^4.(x-3)[/tex3]
[tex3]-70.x^3=35.x^5-105.x^4[/tex3]
[tex3]35.x^5-105.x^4+70.x^3=0[/tex3]
Colocando [tex3]35.x^3[/tex3] em evidência:
[tex3]35.x^3(x-1).(x-2)=0[/tex3]
[tex3]35.x^3=0[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\boxed{x=0}[/tex3]
[tex3]x-1=0[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\boxed{x=1}[/tex3]
[tex3]x-2=0[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\boxed{x=2}[/tex3]
[tex3]\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{x-3}\right)^7[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{p+1}}={\text{n} \choose \text{p}}.\text{a}^{\text{n-p}}.\text{b}^{\text{p}}[/tex3]
Quarto termo:
Sendo:
[tex3]\text{p}=3[/tex3]
[tex3]\text{n}=7[/tex3]
[tex3]\text{a}=\frac{x}{2}[/tex3]
[tex3]\text{b}=-\frac{1}{x-3}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{3+1}}={\text{7} \choose \text{3}}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{7-3}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
Desenvolvendo, ficamos com:
[tex3]\text{T}_{\text{4}}=\frac{7!}{4!.3!}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{4}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{4}}=\frac{35.x^{\text{4}}}{16}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
Quinto termo:
[tex3]\text{p}=4[/tex3]
[tex3]\text{n}=7[/tex3]
[tex3]\text{a}=\frac{x}{2}[/tex3]
[tex3]\text{b}=-\frac{1}{x-3}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{4+1}}={\text{7} \choose \text{4}}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{7-4}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}[/tex3]
Desenvolvendo, ficamos com:
[tex3]\text{T}_{\text{5}}=\frac{7!}{3!.4!}.\left(\frac{x}{2}\right)^{\text{3}}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}[/tex3]
[tex3]\text{T}_{\text{5}}=\frac{35.x^{\text{3}}}{8}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}[/tex3]
Igualando:
[tex3]\text{T}_{\text{5}}=\text{T}_{\text{4}}[/tex3]
[tex3]\frac{35.x^{\text{3}}}{8}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{4}}=\frac{35.x^{\text{4}}}{16}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^{\text{3}}[/tex3]
[tex3]\frac{35.x^{\text{3}}}{8}.\left(-\frac{1}{x-3}\right)=\frac{35.x^{\text{4}}}{16}[/tex3]
[tex3]-\frac{35.x^{\text{3}}}{x-3}=\frac{35.x^{\text{4}}}{2}[/tex3]
[tex3]-70.x^3=35.x^4.(x-3)[/tex3]
[tex3]-70.x^3=35.x^5-105.x^4[/tex3]
[tex3]35.x^5-105.x^4+70.x^3=0[/tex3]
Colocando [tex3]35.x^3[/tex3] em evidência:
[tex3]35.x^3(x-1).(x-2)=0[/tex3]
[tex3]35.x^3=0[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\boxed{x=0}[/tex3]
[tex3]x-1=0[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\boxed{x=1}[/tex3]
[tex3]x-2=0[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\boxed{x=2}[/tex3]
Dou aulas particulares de matemática.
Para mais informações, entre em contato comigo:
Whatsapp: (18) 99164-4128
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NathanMoreira
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Mai 2021
05
16:11
Re: BINOMIO DE NEWTON
Seguindo por outro caminho podemos ver que [tex3]x=0[/tex3]
não é possível. Perceba que [tex3]\text{T}_4[/tex3]
e [tex3]\text{T}_5[/tex3]
também podem ser escrito como:
[tex3]\text{T}_4=35.\left(\frac{x}{2}\right)^4.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^3[/tex3]
[tex3]\text{T}_5=35.\left(\frac{x}{2}\right)^3.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^4[/tex3]
Igualando:
[tex3]35.\left(\frac{x}{2}\right)^4.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^3=35.\left(\frac{x}{2}\right)^3.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^4[/tex3]
[tex3]\left(\frac{x}{2}\right)^4.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^3=\left(\frac{x}{2}\right)^3.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^4[/tex3]
Aqui podemos ver duas restrições para x
1) Ao dividir ambos os lados por [tex3]\left(\frac{x}{2}\right)^3[/tex3] , que precisa ser diferente de zero, implicando em [tex3]x\neq 0[/tex3] .
2) O [tex3]x-3[/tex3] do denominador da fração [tex3]-\frac{1}{x-3}[/tex3] não pode ser igual a zero, implicando em [tex3]x\neq 3[/tex3] .
Portanto, as únicas soluções válidas são:
[tex3]\boxed{x=1}[/tex3]
[tex3]\boxed{x=2}[/tex3]
[tex3]\text{T}_4=35.\left(\frac{x}{2}\right)^4.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^3[/tex3]
[tex3]\text{T}_5=35.\left(\frac{x}{2}\right)^3.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^4[/tex3]
Igualando:
[tex3]35.\left(\frac{x}{2}\right)^4.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^3=35.\left(\frac{x}{2}\right)^3.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^4[/tex3]
[tex3]\left(\frac{x}{2}\right)^4.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^3=\left(\frac{x}{2}\right)^3.\left(-\frac{1}{x-3}\right)^4[/tex3]
Aqui podemos ver duas restrições para x
1) Ao dividir ambos os lados por [tex3]\left(\frac{x}{2}\right)^3[/tex3] , que precisa ser diferente de zero, implicando em [tex3]x\neq 0[/tex3] .
2) O [tex3]x-3[/tex3] do denominador da fração [tex3]-\frac{1}{x-3}[/tex3] não pode ser igual a zero, implicando em [tex3]x\neq 3[/tex3] .
Portanto, as únicas soluções válidas são:
[tex3]\boxed{x=1}[/tex3]
[tex3]\boxed{x=2}[/tex3]
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