Ensino Médio(FB) Polinômios Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Zhadnyy
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Mai 2021 04 15:29

(FB) Polinômios

Mensagem não lida por Zhadnyy »

Consideremos o polinômio [tex3]P(x)=x^3+3x^2+5x+2[/tex3]
a) Mostre que P(x) tem apenas uma raiz real
b) Mostre que essa raiz real é negativa
c) Mostre que essa raiz real é irracional
Resposta

Eu não consegui a alternativa A.
Na B, uso a Regra dos Sinais de Descartes e vejo que não podem existir raízes reais positivas, e se existirem negativas, são em número de 1 ou 3. Na C, basta usar o teorema das raízes racionais e, por inspeção, verificar que nenhuma das possibilidades é válida.
O problema que encontrei foi esse: quando a regra de Sinais de Descartes diz que existe 1 ou 3 raízes, geralmente o que vejo nos fóruns gringos é que eles acham duas raízes e garantem pela regra que existe mais uma. Entretanto, como provar que SÓ EXISTE UMA?



“It surprises me how disinterested we are today about things like physics, space, the universe and philosophy of our existence, our purpose, our final destination. Its a crazy world out there. Be curious.”
― Stephen Hawking

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Ittalo25
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Re: (FB) Polinômios

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]P(x)=x^3+3x^2+5x+2 = (x+1)^3+2 \cdot (x+1) + 1[/tex3]
Faça: [tex3]x+1\rightarrow x[/tex3] . Se as raízes são reais, continuaram sendo reais ao adicionar +1, analogamente para raízes complexas.
[tex3]P(x) = x^3+2x+1 [/tex3]

[tex3]P(1) = 4 [/tex3] e [tex3]P(-1) = -2 [/tex3]
Como o sinal mudou, existe pelo menos uma raiz real.

Se existem 3 raízes reais, a,b e c, então: [tex3]P(a) = P(b) =0[/tex3]
Pelo Teorema de Rolle, então existe d no intervalo ]a,b[ tal que [tex3]P'(d)=0 [/tex3]
Mas [tex3]P'(x) = 3x^2+2 > 0 [/tex3]
Absurdo.

Sendo assim existe apenas uma raiz real.

a b) é meio óbvia, se a raiz for positiva, então: [tex3]P(x)=x^3+3x^2+5x+2 >0[/tex3]

a c) bastar testar 1,-1,2,-2 pelo teorema das raízes racionais.

Última edição: Ittalo25 (Ter 04 Mai, 2021 16:35). Total de 1 vez.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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