Ensino Médio

Resolva o sistema de equações

[tex3]\begin{cases}
log(x).log(x+y)=log(y).log(x-y) \\
log(y).log(x+y)=log(x).log(x-y)
\end{cases}[/tex3]

Resposta

[tex3](x,y)=(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}},\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}})[/tex3]

Dividindo a primeira pela segunda:
[tex3]\frac{log(x)}{log(y)}=\frac{log(y)}{log(x)} \rightarrow log(x)^2=log(y)^2 \rightarrow log(x)=\pm log(y)[/tex3]
[tex3]log(x)=log(y) \rightarrow x=y[/tex3]
Nesse caso, temos um absurdo, pois a expressão inclui [tex3]log(x-y)[/tex3] que deve existir. Então [tex3]log(x)=-log(y) \rightarrow x=\frac{1}{y}[/tex3]
[tex3]log(x)log(x+\frac{1}{x})=log(\frac{1}{x})log(x-\frac{1}{x}) \rightarrow log(x+\frac{1}{x})=-log(x-\frac{1}{x}) \rightarrow x+\frac{1}{x}=\frac{1}{x-\frac{1}{x}}[/tex3]
[tex3]\frac{x^2+1}{x}=\frac{x}{x^2-1} \rightarrow x^4-1=x^2 \rightarrow x^4-x^2-1=0[/tex3]
Daí já fica claro que as soluções são [tex3]\pm \sqrt{\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}}[/tex3] . A pergunta é quais que devemos considerar. De imediato, uma das possibilidades é uma raiz de um número negativo, então resta [tex3]\pm \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}[/tex3]
Por outro lado, vemos que existe [tex3]log(x)[/tex3] , então [tex3]x>0[/tex3] . Daí, ficamos apenas com [tex3]x=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}[/tex3]

Aí é só calcular o valor de y lembrando que [tex3]y=\frac{1}{x}[/tex3]

Segue que a solução é o único par [tex3](x,y)=(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}, \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}})[/tex3]

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