Ensino Médio

Suponha que a, b, c são reais positivos com [tex3]a^{log_37}=27[/tex3] , [tex3]b^{log_711}=49[/tex3] , [tex3]c^{log_{11}25}=\sqrt{11}[/tex3] . Então, o valor da expressão

[tex3]a^{(log_37)^2}+b^{(log_711)^2}+c^{(log_{11}25)^2}[/tex3]

é igual a:
a) 469
b) 496
c) 525
d) 625
e) 896

Resposta

A

[tex3]a^{\log_37}=27[/tex3]

Elevando ambos lados a [tex3]\log_37[/tex3] :
[tex3](a^{\log_37})^{\log_37}=27^{^{\log_37}}[/tex3]
[tex3]a^{(\log_37)^2}=(3^3)^{\log_37}[/tex3]
[tex3]a^{(\log_37)^2}=3^{3.{\log_37}}[/tex3]
[tex3]a^{(\log_37)^2}=3^{{\log_37^3}}[/tex3]
[tex3]a^{(\log_37)^2}=7^3[/tex3]

Vamos fazer o mesmo procedimento para os outros (irei pular alguns passos, são idênticos ao primeiro):

[tex3]b^{\log_711}=49[/tex3]

Elevando ambos lados a [tex3]\log_711[/tex3] :
[tex3](b^{\log_711})^{\log_711}=(49)^{\log_711}[/tex3]
[tex3]b^{(\log_711)^2}=7^{\log_711^2}[/tex3]
[tex3]b^{(\log_711)^2}=11^2[/tex3]

[tex3]c^{\log_{11}25}=\sqrt{11}[/tex3]

Elevando ambos lados a [tex3]\log_{11}25[/tex3] :
[tex3](c^{\log_{11}25})^{\log_{11}25}=(\sqrt{11})^{\log_{11}25}[/tex3]
[tex3]c^{(\log_{11}25)^2}=11^{\log_{11}5}[/tex3]
[tex3]c^{(\log_{11}25)^2}=5[/tex3]

Efetuando a soma pedida:
[tex3]7^3+11^2+5[/tex3]
[tex3]=343+121+5[/tex3]
[tex3]{\color{red}\boxed{=469}}[/tex3]

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