Ensino Médio(FB) Logaritmos - Conceito e propriedades Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Autor do Tópico
Deleted User 23699
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Abr 2021 15 19:43

(FB) Logaritmos - Conceito e propriedades

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

A sequência [tex3](a_n)[/tex3] satisfaz [tex3]a_1=1[/tex3] e [tex3]5^{a_{n+1}-a_n}-1=\frac{1}{n+\frac{2}{3}}[/tex3] , para [tex3]n\geq 1[/tex3] . Seja k o menor inteiro maior que 1 para o qual [tex3]a_k[/tex3] é um inteiro. Encontre k.
Resposta

41




Avatar do usuário
Ittalo25
5 - Mestre
Mensagens: 2349
Registrado em: Seg 18 Nov, 2013 22:11
Última visita: 27-03-24
Abr 2021 15 21:32

Re: (FB) Logaritmos - Conceito e propriedades

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]5^{a_{n+1}-a_n}=\frac{1}{n+\frac{2}{3}}+1[/tex3]

Fazendo o produtório telescópico:
[tex3]\begin{cases}
5^{a_{n}-a_{n-1}}=\frac{1}{n-1+\frac{2}{3}}+1 \\
5^{a_{n-1}-a_{n-2}}=\frac{1}{n-2+\frac{2}{3}}+1 \\
....\\
5^{a_{3}-a_2}=\frac{1}{2+\frac{2}{3}}+1 \\
5^{a_{2}-a_1}=\frac{1}{1+\frac{2}{3}}+1
\end{cases}[/tex3]

Multiplicando tudo:
[tex3]5^{a_n-a_1} = \frac{3n+2}{5} [/tex3]
[tex3]5^{a_n} = 3n+2 [/tex3]
Agora:
[tex3]3n+2 = 5\rightarrow n=1 [/tex3]
[tex3]3n+2 = 25\rightarrow n = \frac{23}{3} [/tex3]
[tex3]3n+2 = 125\rightarrow \boxed{n = 41 \rightarrow a_n = a_3} [/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Médio”