Ensino Médio

Para [tex3]n\in Z_+^*[/tex3] , seja f uma função definida por [tex3]f(n)=log_8n[/tex3] , se esse logaritmo for racional e f(n) = 0 caso contrário. Qual é o valor de
[tex3]\sum_{n=1}^{1997}f(n)[/tex3]

a) [tex3]log_82047[/tex3]
b) 6
c) 55/3
d) 58/3
e) 585

Resposta

C

Propriedade do expoente na base:

Se temos [tex3]\mathsf{\log_{a^n} \ x}[/tex3] , ao aplicarmos mudança de base para a base [tex3]\mathsf{a}[/tex3] :

[tex3]\mathsf{\log_{a^n} \ x \ = \ \dfrac{\log_{a} \ x}{\cancelto{n}{\log_{a} \ a^n}} \ = \ \dfrac{\log_{a} \ x}{n}}[/tex3]

Vamos aplicar a propriedade em [tex3]\mathsf{f(n)}[/tex3] definindo uma nova função:

[tex3]\mathsf{g(n) \ = \ \begin{cases}
\mathsf{\log_2 \ n, \ \ se \ for \ racional; \\
0, \ caso \ contrário.}
\end{cases}}[/tex3]

Aplicando a propriedade em [tex3]\mathsf{2^3 \ = \ 8}[/tex3] , temos que [tex3]\mathsf{f(n) \ = \ \dfrac{g(n)}{3}.}[/tex3]

Portanto:

[tex3]\mathsf{\sum_{n \ = \ 1}^{1997} \ f(n) \ = \ \dfrac{1}{3} \cdot \sum_{n \ = \ 1}^{1997} \ g(n)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\log_2 \ n \ \in \ \mathbb{Q} \ \Rightarrow \ n \ = \ 2^k, \ k \in \ \mathbb{N}}[/tex3] , ou seja, para que a função assuma valor diferente de [tex3]\mathsf{0}[/tex3] , [tex3]\mathsf{n}[/tex3] deve ser uma potência de [tex3]\mathsf{2}[/tex3] (excluem-se as raízes porque [tex3]\mathsf{n} \ \in \ \mathbb{Z}^{*}_{+}[/tex3] ).

No intervalo [tex3]\mathsf{[1,1997]}[/tex3] , temos potências de [tex3]\mathsf{2}[/tex3] a [tex3]\mathsf{1024}[/tex3] :

[tex3]\mathsf{\dfrac{1}{3} \cdot \sum_{n \ = \ 1}^{1997} \ g(n) \ = \ \dfrac{1}{3} \cdot \sum_{k \ = \ 1}^{10} \ \log_2 \ 2^k}[/tex3]

[tex3]\mathsf{= \ \dfrac{1}{3} \cdot \sum_{k \ = \ 1}^{10} \ k \cdot \cancelto{1}{\log_2 \ 2}}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{= \ \dfrac{55}{3}}}}[/tex3]

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