Ensino Médio ⇒ Demonstração-funções

[iammaribrg]

Hipótese: Toda função f(x) pode ser escrita como sendo a soma de uma função par g(x) e de uma função ímpar h(x).

Prova:
Seja g(x)= [tex3]\frac{f(x) + f(-x)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{f(x) + f(-x)}{2}[/tex3]

. Agora, façamos g(-x)= [tex3]\frac{f(x) + f(-x)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{f(x) + f(-x)}{2}[/tex3]

. Obs: ao substituir -x em x, nada muda, garantindo então que a função é par.

Agora, seja h(x)= [tex3]\frac{f(x) - f(-x)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{f(x) - f(-x)}{2}[/tex3]

. De modo análogo, h(-x)= -([tex3]\frac{f(x) - f(-x)}{2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{f(x) - f(-x)}{2})[/tex3]

. Logo, podemos garantir que a função é ímpar.

Se somarmos g(x) + h(x):
[tex3]\frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}[/tex3]

= f(x), como queríamos provar