Ensino MédioTrigonometria Tópico resolvido

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simonecig
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Abr 2021 15 17:26

Trigonometria

Mensagem não lida por simonecig »

Se a e b são arcos do 2º quadrante tais que sen a=√2/2 e cos b = ½ , então sen(a+b) é:

a) 3(1−√2)/4

b) 3(3−√2)/4

c) −√2(1+√3)/4

d) √3(√2+1)/4

e) √2(−√3+√2)/4
Resposta

e)




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ExpansionMath
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Abr 2021 15 18:26

Re: Trigonometria

Mensagem não lida por ExpansionMath »

Olá, boa noite!

Acompanhe a resolução por favor:

[tex3]cos\,b=-\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]sen\,a=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Utilizando a Relação Fundamental da Trigonometria:

[tex3]sen^{2}\,a+cos^{2}\,a=1[/tex3]

[tex3]\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+cos^{2}\,a=1\rightarrow cos\,a=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Como [tex3]a[/tex3] pertence ao 2º quadrante, temos que: [tex3]cos\,a=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Por outro lado, temos que:

[tex3]sen^{2}\,b+cos^{2}\,b=1[/tex3]

[tex3]sen^{2}\,b+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1\rightarrow sen\,b=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Como [tex3]b[/tex3] pertence ao 2º quadrante, temos que: [tex3]sen\,b=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

Para calcular [tex3]sen(a+b)[/tex3] , faça:

[tex3]sen(a+b)=(sen\,a)*(cos\,b)+(sen\,b)*(cos\,a)[/tex3]

Agora é com você! Apenas conclua o exercício..

Qualquer dúvida estou a disposição.

Hipátia




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petras
7 - Einstein
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Abr 2021 15 18:57

Re: Trigonometria

Mensagem não lida por petras »

simonecig,

[tex3]a = 45^o [/tex3] no primeiro quadrante. O simétrico dele no 2 quadrante é [tex3]180^o-45^o = 135^o\\
\text{O valor do seno é o mesmo:} \frac{\sqrt{2}}{2} \\
\text{O valor do cosseno é o oposto:} -\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

[tex3]b = 60^o [/tex3] no primeiro quadrante. O simétrico dele no 2 quadrante é [tex3]180^o-60^o = 120^o\\
\text{O valor do seno é o mesmo:} \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\text{O valor do cosseno é o oposto:} -\frac{1}{2} [/tex3]

[tex3]sen( a+b)=sen(135^o+120^o)=senacosb+senbcosa = sen135^o.cos120^o+sen120^0cos135^o\\
\frac{\sqrt{2}}{2}.(-\frac{1}{2})+\frac{\sqrt{3}}{2}.(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}=\boxed{\color{red}\frac{-\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{4}}
[/tex3]

Gabarito esta errado
Última edição: petras (Qui 15 Abr, 2021 18:58). Total de 1 vez.



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ExpansionMath
sênior
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Abr 2021 15 19:30

Re: Trigonometria

Mensagem não lida por ExpansionMath »

Exatamente essa resposta, petras.

Se substituirmos os valores que encontrei na relação do [tex3]sen\,(a+b)[/tex3] encontraremos o mesmo valor.
No enunciado da questão foi colocado o valor do cosseno como positivo o que não faz sentido dado que estamos trabalhando no 2º quadrante.




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