Ensino MédioOBS 2019 - geometria plana

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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MilkShake
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OBS 2019 - geometria plana

Mensagem não lida por MilkShake »

OBS 2019 1° fase Q.11 -
Num triângulo ABC isósceles, onde AB=AC, o ângulo A mede 40 graus, traca-se BP com P em AC, e o
ângulo ABP mede 20 graus. Toma-se um ponto M em BP de modo que AP=PM, seja "x" o ângulo PMC. A soma dos
algarismos de "x" é
a) 6 b) 8 c) 9 d)11
Resposta

b)8




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παθμ
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Re: OBS 2019 - geometria plana

Mensagem não lida por παθμ »

MilkShake, infelizmente eu não consegui resolver sinteticamente, então aí vai meu brute-force por trigonometria:
Screenshot 2024-01-21 123126.png
Screenshot 2024-01-21 123126.png (179.24 KiB) Exibido 98 vezes
Seja [tex3]x=AP,[/tex3] [tex3]l=AB=AC[/tex3] e [tex3]\alpha[/tex3] o ângulo que queremos encontrar.

Lei dos senos no triângulo APB:

[tex3]\frac{\sin(120\degree)}{l}=\frac{\sin(20\degree)}{x} \Longrightarrow x=\frac{2\sqrt{3}l}{3}\sin(20\degree),[/tex3] onde foi usado que [tex3]\sin(120\degree)=\sin(60\degree).[/tex3]

Lei dos senos no triângulo CPM:

[tex3]\frac{\sin(\alpha)}{l-x}=\frac{\sin(120\degree - \alpha)}{x} \Longrightarrow \sin(120 \degree - \alpha)-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin(120 \degree - \alpha) \sin(20 \degree)=\frac{2\sqrt{3}}{3} \sin(20 \degree) \sin(\alpha).[/tex3]

Usando [tex3]\sin(120 \degree - \alpha)=\sin(60 \degree+ \alpha)[/tex3] e [tex3]\sin(60\degree)=\frac{\sqrt{3}}{2}:[/tex3]

[tex3]\sin(60 \degree+\alpha)(\sin(60\degree)-\sin(20\degree))=\sin(20\degree)\sin(\alpha).[/tex3]

Usando uma identidade: [tex3]\sin(60\degree)-\sin(20\degree)=2\sin(20\degree)\cos(40\degree),[/tex3] daí [tex3]2\sin(60\degree+\alpha)\cos(40\degree)=\sin(\alpha).[/tex3]

Usando mais uma identidade: [tex3]\sin(60\degree+\alpha)\cos(40\degree)=\frac{1}{2}(\sin(20\degree+\alpha)+\sin(100\degree+\alpha)),[/tex3] então:

[tex3]\cos(10\degree+\alpha)=\sin(\alpha)-\sin(20\degree+\alpha),[/tex3] onde também foi usado que [tex3]\sin(100\degree+\alpha)=\cos(10\degree+\alpha).[/tex3]

Usando uma última identidade: [tex3]\sin(\alpha)-\sin(20\degree+\alpha)=2\sin(-10\degree)\cos(10\degree+\alpha),[/tex3] então:

[tex3]-2\sin(10\degree)\cos(10\degree+\alpha)=\cos(10\degree+\alpha).[/tex3]

Se [tex3]\cos(10\degree+\alpha) \neq 0,[/tex3] teríamos [tex3]\sin(10\degree)=-\frac{1}{2},[/tex3] absurdo. Então [tex3]\cos(10\degree+\alpha)=0 \Longrightarrow 10\degree+\alpha=90\degree \Longrightarrow \boxed{\alpha=80\degree}[/tex3]

Alternativa B




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petras
7 - Einstein
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Jan 2024 23 19:57

Re: OBS 2019 - geometria plana

Mensagem não lida por petras »

MilkShake,

Segue solução por geometria

Traçando o circuncentro O do triângulo AMB teremos:

[tex3]\angle ABP_(insc) =20^o \implies \angle AOM = 40^o \\
\angle APB = 180^o -40^0 -20^o =120^o \therefore \angle MPC = 60^o \\
\triangle APM: \angle PMA \cong \angle PAM = \frac{180^-120^o}{2} = 30^o \implies \angle BAM_{(insc.)} = 10^o\\
\therefore \angle BOM =20 ^o \implies \angle BOA=60^o \implies \triangle BOA _{(equil.)}\\
\triangle OAC_{(isosc)}:OA=AB=OC \therefore \angle PCO = 40^o \\
\therefore \angle PCM = x = 180^o - 60^0 -40^o - 80^o \therefore \boxed{x= 80^o \implies 8+0 = 8} [/tex3]

(Solução:limestone-adaptada)
Anexos
Sem título.jpg
Sem título.jpg (23.65 KiB) Exibido 86 vezes




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