MilkShake, infelizmente eu não consegui resolver sinteticamente, então aí vai meu brute-force por trigonometria:
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Seja [tex3]x=AP,[/tex3]
[tex3]l=AB=AC[/tex3]
e [tex3]\alpha[/tex3]
o ângulo que queremos encontrar.
Lei dos senos no triângulo APB:
[tex3]\frac{\sin(120\degree)}{l}=\frac{\sin(20\degree)}{x} \Longrightarrow x=\frac{2\sqrt{3}l}{3}\sin(20\degree),[/tex3]
onde foi usado que [tex3]\sin(120\degree)=\sin(60\degree).[/tex3]
Lei dos senos no triângulo CPM:
[tex3]\frac{\sin(\alpha)}{l-x}=\frac{\sin(120\degree - \alpha)}{x} \Longrightarrow \sin(120 \degree - \alpha)-\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin(120 \degree - \alpha) \sin(20 \degree)=\frac{2\sqrt{3}}{3} \sin(20 \degree) \sin(\alpha).[/tex3]
Usando [tex3]\sin(120 \degree - \alpha)=\sin(60 \degree+ \alpha)[/tex3]
e [tex3]\sin(60\degree)=\frac{\sqrt{3}}{2}:[/tex3]
[tex3]\sin(60 \degree+\alpha)(\sin(60\degree)-\sin(20\degree))=\sin(20\degree)\sin(\alpha).[/tex3]
Usando uma identidade: [tex3]\sin(60\degree)-\sin(20\degree)=2\sin(20\degree)\cos(40\degree),[/tex3]
daí [tex3]2\sin(60\degree+\alpha)\cos(40\degree)=\sin(\alpha).[/tex3]
Usando mais uma identidade: [tex3]\sin(60\degree+\alpha)\cos(40\degree)=\frac{1}{2}(\sin(20\degree+\alpha)+\sin(100\degree+\alpha)),[/tex3]
então:
[tex3]\cos(10\degree+\alpha)=\sin(\alpha)-\sin(20\degree+\alpha),[/tex3]
onde também foi usado que [tex3]\sin(100\degree+\alpha)=\cos(10\degree+\alpha).[/tex3]
Usando uma última identidade: [tex3]\sin(\alpha)-\sin(20\degree+\alpha)=2\sin(-10\degree)\cos(10\degree+\alpha),[/tex3]
então:
[tex3]-2\sin(10\degree)\cos(10\degree+\alpha)=\cos(10\degree+\alpha).[/tex3]
Se [tex3]\cos(10\degree+\alpha) \neq 0,[/tex3]
teríamos [tex3]\sin(10\degree)=-\frac{1}{2},[/tex3]
absurdo. Então [tex3]\cos(10\degree+\alpha)=0 \Longrightarrow 10\degree+\alpha=90\degree \Longrightarrow \boxed{\alpha=80\degree}[/tex3]
Alternativa B
)
