Ensino MédioOBS 2019 Álgebra Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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MilkShake
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OBS 2019 Álgebra

Mensagem não lida por MilkShake »

OBS 2019 1° fase Q.10 -
Sejam x e y inteiros tais que [tex3]y^{2} + 3x^{2} y^{2} = 30x^{2} + 517[/tex3] . Seja K [tex3]= 3x^{2}y^{2}[/tex3] e Z o produto dos algarismos de K. O valor de Z é:
a) 300 b) 320 c) 400 d)420
Resposta

b)320




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Ittalo25
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Re: OBS 2019 Álgebra

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]y^{2} + 3x^{2} y^{2} = 30x^{2} + 517[/tex3]
[tex3]y^{2} =\frac{ 30x^{2} + 517}{3x^2+1}[/tex3]
Como y é inteiro, então:
[tex3]3x^2+1|30x^2+517 [/tex3]
[tex3]3x^2+1|30x^2+517 - 10\cdot (3x^2+1)[/tex3]
[tex3]3x^2+1|507[/tex3]
[tex3]3x^2+1|3 \cdot 13^2[/tex3]
Primeiro caso:
[tex3]3x^2+1 = 13 \rightarrow x = 2 [/tex3]
Segundo caso:
[tex3]3x^2+1 = 3\cdot 13 \rightarrow x =\frac{\sqrt{38}}{\sqrt{3}} [/tex3]
Terceiro caso:
[tex3]3x^2+1 = 13^2 \rightarrow x =2\sqrt{14} [/tex3]
Quarto caso:
[tex3]3x^2+1 = 3\cdot 13^2 \rightarrow x =\frac{\sqrt{506}}{\sqrt{3}} [/tex3]
Como x é inteiro, então [tex3]x = 2 [/tex3]

Portanto:
[tex3]y^{2} + 3x^{2} y^{2} = 30x^{2} + 517[/tex3]
[tex3]y^{2} + 3\cdot 2^{2}\cdot y^{2} = 30\cdot 2^{2} + 517[/tex3]
[tex3]y = 7 [/tex3]

Sendo assim:
[tex3]k = 3\cdot 7^2 \cdot 2^2 = 588 [/tex3]

Finalmente: [tex3]z = 5 \cdot 8 \cdot 8 = \boxed{320} [/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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