Ensino Médio ⇒ (FB) Equações e funções exponenciais Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Resolva cada uma das equações:

a) [tex3]3^x+4^x=5^x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^x+4^x=5^x[/tex3]

b) [tex3]5^x+12^x=13^x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5^x+12^x=13^x[/tex3]

c) [tex3]10^x+11^x+12^x=13^x+14^x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10^x+11^x+12^x=13^x+14^x[/tex3]

Resposta

---

x = 2 nos três itens

[iammaribrg]

As duas primeiras dá pra perceber que são trios pitagóricos. Essa c tem que pensar um pouco mais...

[Deleted User 23699]

iammaribrg

As três precisam ter a demonstração de que a igualdade só funciona para x = 2

[petras]

Zhadnyy,
a) Pelo último teorema de Fermat toda equação da forma,

aⁿ+bⁿ=cⁿ para todo n > 2 a equação não tem solução, se n for um inteiro maior do que 2 e (a,b,c) naturais (inteiros > 0).
[tex3]Testando ~x=1: 3+4=7\neq 5\\x=2:3^2+4^2=5^2\rightarrow 25=25
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Testando ~x=1: 3+4=7\neq 5\\x=2:3^2+4^2=5^2\rightarrow 25=25
[/tex3]

Portanto a única solução é 2
b) mesmo processo
c)?

[Ittalo25]

Na c) dividindo tudo por [tex3]12^{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12^{x}[/tex3]

, o lado esquerdo é uma função decrescente enquanto o lado direito é uma função crescente

e por isso essas funções têm no máximo um ponto de intersecção. Nesse caso é trivial x=2

formalmente prova-se isso usando derivadas

e esse argumento vale para todas as alternativas, afinal:
a) divide-se tudo por [tex3]4^{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4^{x}[/tex3]

b) divide-se tudo por [tex3]12^{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12^{x}[/tex3]

OBS: O último teorema de Fermat é válido apenas para números naturais

[petras]

Ittalo25,

Grato pela correção