Ensino Médio(FB) Equações e funções exponenciais Tópico resolvido

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Abr 2021 14 17:25

(FB) Equações e funções exponenciais

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Resolva cada uma das equações:

a) [tex3]3^x+4^x=5^x[/tex3]
b) [tex3]5^x+12^x=13^x[/tex3]
c) [tex3]10^x+11^x+12^x=13^x+14^x[/tex3]
Resposta

x = 2 nos três itens




iammaribrg
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Abr 2021 14 17:36

Re: (FB) Equações e funções exponenciais

Mensagem não lida por iammaribrg »

As duas primeiras dá pra perceber que são trios pitagóricos. Essa c tem que pensar um pouco mais...



O fogo arderá continuamente sobre o altar; não se apagará.
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Autor do Tópico
Deleted User 23699
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Abr 2021 14 17:41

Re: (FB) Equações e funções exponenciais

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

iammaribrg

As três precisam ter a demonstração de que a igualdade só funciona para x = 2



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petras
7 - Einstein
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Re: (FB) Equações e funções exponenciais

Mensagem não lida por petras »

Zhadnyy,
a) Pelo último teorema de Fermat toda equação da forma,

an+bn=cn para todo n > 2 a equação não tem solução, se n for um inteiro maior do que 2 e (a,b,c) naturais (inteiros > 0).
[tex3]Testando ~x=1: 3+4=7\neq 5\\x=2:3^2+4^2=5^2\rightarrow 25=25
[/tex3]
Portanto a única solução é 2
b) mesmo processo
c)?
Última edição: petras (Qua 14 Abr, 2021 18:05). Total de 2 vezes.



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Ittalo25
5 - Mestre
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Re: (FB) Equações e funções exponenciais

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Na c) dividindo tudo por [tex3]12^{x}[/tex3] , o lado esquerdo é uma função decrescente enquanto o lado direito é uma função crescente

e por isso essas funções têm no máximo um ponto de intersecção. Nesse caso é trivial x=2

formalmente prova-se isso usando derivadas

e esse argumento vale para todas as alternativas, afinal:
a) divide-se tudo por [tex3]4^{x}[/tex3]
b) divide-se tudo por [tex3]12^{x}[/tex3]

OBS: O último teorema de Fermat é válido apenas para números naturais
Última edição: Ittalo25 (Qui 15 Abr, 2021 19:21). Total de 1 vez.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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petras
7 - Einstein
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Re: (FB) Equações e funções exponenciais

Mensagem não lida por petras »

Ittalo25,

Grato pela correção




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