Ensino Médio(FB) Equações e funções exponenciais Tópico resolvido

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(FB) Equações e funções exponenciais

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

O número de soluções inteiras positivas (x,y) da equação

[tex3]x^yy^x+x^y+y^x=5329[/tex3]

é
a) 0
b) 2
c) 4
d) 8
e) nda
Resposta

C




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Ittalo25
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Re: (FB) Equações e funções exponenciais

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]x^yy^x+x^y+y^x=5329[/tex3]
[tex3]x^y\cdot (y^x+1)+y^x=5329[/tex3]
[tex3]x^y\cdot (y^x+1)+y^x+1=5330[/tex3]
[tex3](x^y+1)\cdot (y^x+1)=5330[/tex3]
[tex3](x^y+1)\cdot (y^x+1)=2\cdot 5 \cdot 13 \cdot 41[/tex3]

Os divisores de 5330 são 1,2,5,10,13,26,41,65,82,130,205,410,533,1066,2665,5330
Exclui-se 1 e 5330 já que [tex3]x^y+1 > 1 [/tex3] e [tex3]y^x+1>1 [/tex3]
A situação é simétrica, então dá para testar os divisores em pares, se um não der, o par já está perdido
[tex3]x^y+1 = 2\rightarrow x^y=1 [/tex3] ok, [tex3]x^y+1 = 2665\rightarrow x^y=2^3\cdot 3^2 \cdot 37 [/tex3] não dá.
[tex3]x^y+1 = 5\rightarrow x^y=4 [/tex3] ok, [tex3]x^y+1 = 1066\rightarrow x^y=3\cdot 5 \cdot 71 [/tex3] ok
[tex3]x^y+1 = 10\rightarrow x^y=3^2 [/tex3] ok, [tex3]x^y+1 = 533\rightarrow x^y=2^2\cdot 7 \cdot 9 [/tex3] não dá.
[tex3]x^y+1 = 13\rightarrow x^y=12 [/tex3] ok, [tex3]x^y+1 = 410\rightarrow x^y=409 [/tex3] ok
[tex3]x^y+1 = 26\rightarrow x^y=5^2 [/tex3] ok, [tex3]x^y+1 = 205\rightarrow x^y=2^2\cdot 3 \cdot 17 [/tex3] não dá.
[tex3]x^y+1 = 41\rightarrow x^y=5\cdot 8 [/tex3] ok, [tex3]x^y+1 = 130\rightarrow x^y=3\cdot 43 [/tex3] ok.
[tex3]x^y+1 = 65\rightarrow x^y=8^2 [/tex3] ok, [tex3]x^y+1 = 82\rightarrow x^y= 9^2 [/tex3] ok.

são 4 casos para testar então:

[tex3]x^y+1 = 5\rightarrow x^y=4 [/tex3] , [tex3]x=y=2 [/tex3] ou [tex3]x=4 [/tex3] e [tex3]y=1 [/tex3]
mas teríamos de ter [tex3]y^x=2^3\cdot 3^2 \cdot 37 [/tex3] , sem chances.

[tex3]x^y+1 = 13\rightarrow x^y=12 [/tex3] , [tex3]x=12 [/tex3] e [tex3]y=1 [/tex3]
mas teríamos de ter [tex3]y^x=409 [/tex3] , [tex3]y=409 [/tex3] , contradição

[tex3]x^y+1 = 41\rightarrow x^y=5\cdot 8 [/tex3] , [tex3]x=40 [/tex3] e [tex3]y=1 [/tex3]
mas teríamos de ter [tex3]y^x=3\cdot 43 [/tex3] , [tex3]y = 3 \cdot 43 [/tex3] , contradição

[tex3]x^y=8^2 [/tex3] e [tex3]y^x= 9^2 [/tex3]
dá para fazer: [tex3]x^y=4^3 [/tex3] e [tex3]y^x= 3^4 [/tex3]
Aí são soluções: [tex3]\boxed{(x,y) = (4,3), (3,4)} [/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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