Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica - Lugar Geométrico Tópico resolvido

[ocotoconinja]

Seja O(0,0) e A(0,1) dois pontos fixos. Então a equação do lugar geométrico dos ponto de P tais que o perímetro o Triângulo AOP é 4 é:

[jpedro09]

[tex3]2p(\Delta AOP)=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2p(\Delta AOP)=4[/tex3]

[tex3]AO+AP+OP=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AO+AP+OP=4[/tex3]

Perceba que AO=1, logo:

[tex3]AP+OP=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AP+OP=3[/tex3]

Veja que a soma das distância de P até os pontos fixos A e O é constante. Essa é a definição da Elipse, logo, posso afirmar que A e O são os focos dessa elipse e P é um ponto que pertence à Elipse.

[tex3]2a=3 \therefore a=\frac{3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2a=3 \therefore a=\frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]2c=1 \therefore c=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2c=1 \therefore c=\frac{1}{2}[/tex3]

Pela relação fundamental da Elipse:

[tex3]a^{2}=b^{2}+c^{2} \rightarrow \frac{9}{4}=\frac{1}{4}+b^{2} \therefore b^{2}=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{2}=b^{2}+c^{2} \rightarrow \frac{9}{4}=\frac{1}{4}+b^{2} \therefore b^{2}=2[/tex3]

OBS.: ''b'' não pode ser negativo pois é a medida de um segmento.

Como o eixo focal (AO) está no eixo Y, então o termo [tex3]a^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{2}[/tex3]

deve ficar embaixo do termo que possui o [tex3]y^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y^{2}[/tex3]

, consequentemente, o ''b'' deve ficar embaixo do termo que possui o [tex3]x^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}[/tex3]

, logo:

[tex3]\frac{(y-y_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(x-x_{0})^{2}}{b^{2}}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(y-y_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(x-x_{0})^{2}}{b^{2}}=1[/tex3]

O centro fica no ponto médio do eixo focal, ou seja, [tex3](x_{0},y_{0})=\left(0,\frac{1}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x_{0},y_{0})=\left(0,\frac{1}{2}\right)[/tex3]

Daí:

[tex3]\frac{(y-\frac{1}{2})^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{x^{2}}{2}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(y-\frac{1}{2})^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{x^{2}}{2}=1[/tex3]

ou:

[tex3]\frac{4(y-\frac{1}{2})^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{2}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4(y-\frac{1}{2})^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{2}=1[/tex3]

[ocotoconinja]

Muito obrigado pela resposta!

[jpedro09]

Muito obrigado pela resposta!

Nada! Só peço para o senhor(a) conferir o gabarito, hehe, vai que eu tenha errado algo