Seja D o conjunto dos números complexos com módulo menor que 1. Considere a função [tex3]f:D\rightarrow C-[1][/tex3]
OBS: O contradomínio ali em cima é Complexos - {1}
dada por [tex3]f(z)=\frac{z-i}{z+i}[/tex3]
. Mostre que a parte imaginária de [tex3]f\circ f[/tex3]
é positiva.Ensino Médio ⇒ (FB) Funções: Composta e Inversa Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2021
19
22:55
Re: (FB) Funções: Composta e Inversa
[tex3]f(f(z))= \frac{ \frac{z-i}{z+i}-i}{ \frac{z-i}{z+i}+i}[/tex3]
[tex3]f(f(z))= \frac{ z+1-i\cdot(z+1)}{z-1+i\cdot(z-1) }[/tex3]
Fazendo: [tex3]z = a+bi [/tex3]
[tex3]f(f(z))= \frac{a+ib+1}{ia-b-i}[/tex3]
[tex3]Im(f(f(z)))= \frac{(1-a) \cdot (a+1+b^2)}{b^2+(a-1)^2}[/tex3]
Se [tex3]1<a [/tex3] , então:
[tex3]1<a^2 [/tex3]
[tex3]1<a^2+b^2 [/tex3]
[tex3]1< |z| [/tex3]
contradição
Também:
[tex3]a^2+b^2 <1 [/tex3]
[tex3]|a| < 1 [/tex3]
[tex3]-1 < a < 1 [/tex3]
[tex3]0< b^2 < a+1+b^2 < 2+b^2 [/tex3]
[tex3]f(f(z))= \frac{ z+1-i\cdot(z+1)}{z-1+i\cdot(z-1) }[/tex3]
Fazendo: [tex3]z = a+bi [/tex3]
[tex3]f(f(z))= \frac{a+ib+1}{ia-b-i}[/tex3]
[tex3]Im(f(f(z)))= \frac{(1-a) \cdot (a+1+b^2)}{b^2+(a-1)^2}[/tex3]
Se [tex3]1<a [/tex3] , então:
[tex3]1<a^2 [/tex3]
[tex3]1<a^2+b^2 [/tex3]
[tex3]1< |z| [/tex3]
contradição
Também:
[tex3]a^2+b^2 <1 [/tex3]
[tex3]|a| < 1 [/tex3]
[tex3]-1 < a < 1 [/tex3]
[tex3]0< b^2 < a+1+b^2 < 2+b^2 [/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 3 Respostas
- 562 Exibições
-
Última msg por deBroglie
-
- 2 Respostas
- 2796 Exibições
-
Última msg por ocotoconinja
-
- 0 Respostas
- 715 Exibições
-
Última msg por MED10