Ensino Médio

Mensagem não lida por **FISMAQUIM** » 13 Abr 2021, 19:05

Sendo k um número real, considere a matriz abaixo.

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Determine a soma dos elementos da matriz [tex3]X^{2021}[/tex3] .

a) k - 1
b) k
c) k + 1
d) k + 2
e) 2k

Perceba a seguinte regularidade:

[tex3]\text{X}=\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right)[/tex3]

[tex3]\text{X}^2=\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right).\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)[/tex3]

[tex3]\text{X}^3=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right).\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right)[/tex3]

[tex3]\text{X}^4=\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right).\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)[/tex3]

Ou seja, se o expoente for par, teremos como resultado a matriz identidade e, caso o expoente for ímpar, a própria matriz [tex3]\text{X}[/tex3] . Como no exercício ele quer a matriz [tex3]\text{X}^{2021}[/tex3] , cujo expoente é ímpar, teremos:

[tex3]\text{X}^{2021}=\text{X}[/tex3]

[tex3]\text{X}^{2021}=\left( \begin{array}{cc}
1 & k \\
0 & -1
\end{array} \right)[/tex3]

Soma dos elementos: [tex3]1+k+0-1[/tex3]

[tex3]{\color{red}\boxed{=k}}[/tex3]

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