Considere uma PG em que a razão é um número natural não nulo, sabendo que o logaritmo do enésimo termo na base igual a razão da sequência é igual a 6, que o logaritmo do produto dos n primeiros termos na base igual a razão da sequência é igual a 20 e que o produto entre o primeiro e o enésimo termo da sequência é igual a 243, determine o valor da soma dos n primeiros termos dessa sequência.
a) [tex3]\frac{3^{8}-1}{6}[/tex3]
b) [tex3]\frac{3^{8}-1}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{3^{8}-1}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{3^{9}-1}{3}[/tex3]
e) [tex3]\frac{3^{9}-1}{6}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ PA e PG Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2021
14
18:23
Re: PA e PG
Não sei nem começar esta questão. Se alguém puder me ajudar eu agradeço.
Abr 2021
29
15:22
Re: PA e PG
FISMAQUIM,
[tex3]\mathsf{log_q a_n=6\rightarrow q^6=a_n=a_1q^{n-1}\rightarrow \frac{q^6}{q^{(n-1)}}=a_1\\
\therefore \boxed{a_1 = q^{7-n}} \rightarrow \boxed{a_1^n = q^{n({7-n})}}
\\ log_q\underbrace{ (a_1\cdot a_2 \cdot a_3...)}_n=20\rightarrow q^{20} = P_n\\
P_n = a_1^n . q^{\frac{n(n-1)}{2}}\rightarrow q^{20}=q^{n(7-n)}\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}\\
20 = 7n-n^2+\frac{n^2-n}{2}\rightarrow 40= 14n-2n^2+n^2-n\rightarrow n^2-13n+40=0\\
n = 5 ~ou ~n = 8\\
n=5: q^6 = a_n = a_1q^{(n-1)} = a_1q^4\rightarrow a_1 = q^2\\
\therefore 243 = a_1\cdot a_n = q^2\cdot q^6 = q^8 ~mas\sqrt[8]{243}\notin Z\\
n=8 : q^6 = a_n = a_1q^{(n-1)} =a_1q^{(8-1)}=a_1q^7\rightarrow \frac{q^6}{q^7}=a_1\rightarrow a_1 = q^{(-1)}\\
\therefore 243 = a_1\cdot a_n =q^{(-1)} \cdot (q^{(-1)}\cdot q^7) = q^5 \therefore \sqrt[5]{243}=3\in Z\\
\therefore q = 3, a_1 = 3^{-1}, n = 8\\
S = a_1\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3^8-1}{2}\therefore \boxed{\color{red}S =\frac{3^8-1}{6}}
}[/tex3]
(Fonte: colega user2661923)
[tex3]\mathsf{log_q a_n=6\rightarrow q^6=a_n=a_1q^{n-1}\rightarrow \frac{q^6}{q^{(n-1)}}=a_1\\
\therefore \boxed{a_1 = q^{7-n}} \rightarrow \boxed{a_1^n = q^{n({7-n})}}
\\ log_q\underbrace{ (a_1\cdot a_2 \cdot a_3...)}_n=20\rightarrow q^{20} = P_n\\
P_n = a_1^n . q^{\frac{n(n-1)}{2}}\rightarrow q^{20}=q^{n(7-n)}\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}\\
20 = 7n-n^2+\frac{n^2-n}{2}\rightarrow 40= 14n-2n^2+n^2-n\rightarrow n^2-13n+40=0\\
n = 5 ~ou ~n = 8\\
n=5: q^6 = a_n = a_1q^{(n-1)} = a_1q^4\rightarrow a_1 = q^2\\
\therefore 243 = a_1\cdot a_n = q^2\cdot q^6 = q^8 ~mas\sqrt[8]{243}\notin Z\\
n=8 : q^6 = a_n = a_1q^{(n-1)} =a_1q^{(8-1)}=a_1q^7\rightarrow \frac{q^6}{q^7}=a_1\rightarrow a_1 = q^{(-1)}\\
\therefore 243 = a_1\cdot a_n =q^{(-1)} \cdot (q^{(-1)}\cdot q^7) = q^5 \therefore \sqrt[5]{243}=3\in Z\\
\therefore q = 3, a_1 = 3^{-1}, n = 8\\
S = a_1\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3^8-1}{2}\therefore \boxed{\color{red}S =\frac{3^8-1}{6}}
}[/tex3]
(Fonte: colega user2661923)
Última edição: petras (Qui 29 Abr, 2021 16:39). Total de 3 vezes.