Ensino Médio

Equação do plano que contém o ponto A = (2, 1, 3) e é paralelo às retas:

[tex3]r: \begin{cases}
x=2+t \\
y=-1+3t \\
z=2
\end{cases}[/tex3] e [tex3]s: \begin{cases}
x=2z -1 \\
y=z +3 \\
\end{cases}[/tex3]

Resposta

3x – y – 5z + 10 = 0

Observe

Uma solução:

Já que o plano é paralelo às duas retas dadas , então , basta encontrarmos um vetor diretor de r e outro vetor diretor de s e efetuarmos o produto vetorial entre ambos, o resultado será um vetor normal ao plano procurado, temos

Vetor diretor de r:

[tex3]\vec{v}[/tex3] = ( 1 , 3 , 0 ).

Determinação de dois pontos de s:

Faça z = 0 na equação de s , obtemos o seguinte ponto P = ( - 1 , 3 , 0 ).

Faça z = 1 na equação de s , obtemos o seguinte ponto Q = ( 1 , 4 , 1 )

Logo, um vetor diretor de s é

[tex3]\vec{PQ} = Q - P = ( 2 , 1 , 1 )[/tex3]

Cálculo do produto vetorial:

[tex3]\vec{n} = \vec{v} ×\vec{PQ} = \left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 3 & 0\\
2 & 1 & 1
\end{array} \right|[/tex3]

Desenvolvendo o determinante acima, obtemos

[tex3]\vec{n}[/tex3] = ( 3 , - 1 , - 5 ) que é o vetor normal ao plano procurado, então o plano terá a seguinte característica

3x - 1.y - 5z + d = 0

Como o ponto A = ( 2 , 1 , 3 ) está contido no plano, vem;

3.2 - 1.1 - 5.3 + d = 0 → d = 10

Portanto, o plano procurado é 3x – y – 5z + 10 = 0.

Outra maneira:

[tex3]\left[ \begin{array}{ccc}
x-2 & y-1 & z-3 \\
1 & 3 & 0\\
2 & 1 & 1
\end{array} \right] = 0 [/tex3]

Desenvolvendo o determinante acima, obtemos

3x - y - 5z + 10 = 0.

Excelente estudo!

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