Ensino Médio

Se [tex3]cscx +cotx =5 [/tex3] ,entao cscx vale:

Resposta

cscx =[tex3]\frac{13}{5}[/tex3]

[tex3]\cossec x+\cotg x =5[/tex3]
[tex3]\cossec x=5-\cotg x[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\sen x}=5-\frac{\cos x}{\sen x}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\sen x}=\frac{5.\sen x-\cos x}{\sen x}[/tex3]

[tex3]\sen x=\sen x.(5.\sen x-\cos x)[/tex3]
[tex3]5.\sen x-\cos x=1[/tex3]
[tex3]\cos x=5\sen x-1[/tex3]

Relação Fundamental da Trigonometria:
[tex3]\sen ^2x+\cos^2x=1[/tex3]
[tex3]\sen ^2x+(5\sen x-1)^2=1[/tex3]
[tex3]\sen ^2x+25\sen^2 x-10.\sen x+1=1[/tex3]
[tex3]26.\sen^2x-10\sen x=0[/tex3]
[tex3]\sen x.(26.\sen x-10)=0[/tex3]

[tex3]\sen x=0[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] Não convém, visto que [tex3]\sen x\neq 0[/tex3]

[tex3]\boxed{\sen x=\frac{10}{26}}[/tex3]

Portanto, como queremos a cossecante:
[tex3]\cossec x=\frac{26}{10}[/tex3]
[tex3]{\color{red}\boxed{\cossec x=\frac{13}{5}}}[/tex3]

Mensagem não lidapor **careca** » Qui 08 Abr, 2021 23:53 · Mensagem não lida por **careca** » Qui 08 Abr, 2021 23:53

Daria pra pensar também:

[tex3]csc(x) + cotg(x) = \frac{1}{senx} + \frac{cosx}{senx} = \frac{cosx +1}{senx} = cotg(x/2) = 5[/tex3]

Então, [tex3]tg(x/2) = 1/5 [/tex3]

Lembre-se [tex3]tg(\alpha/2) = \frac{senx}{cosx+1}[/tex3]

Calculando [tex3]tg(x) = \frac{2tg(x/2)}{1- tg^2(x/2) } = 5/12 --> cotg(x) = 12/5[/tex3]

Utilizando a relação fundamental da trigonometria: [tex3]cotg^2\alpha +1 = csc^2\alpha [/tex3]

[tex3]csc(x) = +13/5 [/tex3] ou [tex3]csc(x) = -13/5 [/tex3]

Testando na expressão, observamos que apenas [tex3]csc(x) = +13/5 [/tex3] é válida

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