Ensino Médio

Se [tex3]\frac{cós^4x-sen^4x}{cós^8x-sen^8x}=m[/tex3]
Calcule:
[tex3]M=1+sen^6x+cos^6x [/tex3]

Resposta

M=[tex3]\frac{m+3}{2m}[/tex3]

Percebi agora que cometi um erro na minha solução e creio que por isso, o gabarito não bateu. Deixarei a solução correta abaixo:

[tex3]\text{m}=\frac{\cos^4x-\sen^4x}{\cos^8z-\sen^8x}=\frac{\cos^4x-\sen^4x}{(\cos^4x)^2-(\sen^4x)^2}=\frac{(\cos^4x-\sen^4x)}{(\cos^4x+\sen^4x).(\cos^4x-\sen^4x)}=\frac{1}{\cos^4x+\sen^4x}[/tex3]

[tex3]\text{m}=\frac{1}{(\cos^2x)^2+(\sen^2x)^2}=\frac{1}{(\cos^2x+\sen^2x)^2-2.\cos^2x.\sen^2x}=\frac{1}{1-2.\cos^2x.\sen^2x}[/tex3]

[tex3]\text{m}.(1-2.\cos^2x.\sen^2x)=1[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\cos^2x.\sen^2x=\frac{\text{m}-1}{2.\text{m}}[/tex3]

Agora, vamos mexer na segunda equação:
[tex3]\text{M}=1+\sen^6x+\cos^6x[/tex3]
[tex3]\text{M}=1+(\sen^2x)^3+(\cos^2x)^3[/tex3]
[tex3]\text{M}=1+(\sen^2x+\cos^2x).(\sen^4x-\sen^2x.\cos^2x+\cos^4x)[/tex3]
[tex3]\text{M}=1+\sen^4x+\cos^4x-\sen^2x.\cos^2x[/tex3]
[tex3]\text{M}=1+(\sen^2x)^2+(\cos^2x)^2-\sen^2x.\cos^2x[/tex3]
[tex3]\text{M}=1+(sen^2x+\cos^2x)^2-2.\sen^2x.\cos^2x-\sen^2x.\cos^2x[/tex3]
[tex3]\text{M}=1+1-3.\sen^2x.\cos^2x[/tex3]

Porém, como determinamos na primeira equação: [tex3]\sen^2x.\cos^2x=\frac{\text{m}-1}{2.\text{m}}[/tex3]

[tex3]\text{M}=1+1-3.\left(\frac{\text{m}-1}{2.\text{m}}\right)[/tex3]
[tex3]\text{M}=\frac{4.\text{m}-3.\text{m}+3}{2.\text{m}}[/tex3]

[tex3]{\color{red}\boxed{\text{M}=\frac{\text{m}+3}{2.\text{m}}}}[/tex3]

Ensino Médio ⇒ Trigonometria-identidades Tópico resolvido

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