Observe
Uma solução:
A = ( 0 , 1 , 2 ) → Ponto da reta e P = ( 1 , 2 , 0 ).
Determinação do vetor [tex3]\vec{AP}[/tex3]
:
[tex3]\vec{AP} = P-A=( 1,1,-2)[/tex3]
.
Determinação do vetor diretor da reta [tex3]\vec{v} = \vec{AB}[/tex3]
:
[tex3]\vec{v} = \vec{AB} = B-A=( 3 , - 1 , - 1 )[/tex3]
.
Daí,
[tex3]\vec{v}\wedge \vec{AP} = \left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
3 & -1 & -1\\
1 & 1 & -2
\end{array} \right|[/tex3]
Desenvolvendo o determinante acima, obtemos
[tex3]\vec{v}\wedge \vec{AP} = 3
\vec{i} +5\vec{j} + 4 \vec{k} = ( 3 , 5 , 4 )[/tex3]
Ainda,
[tex3]||\vec{v}\wedge \vec{AP}|| = \sqrt{3^2+5^2+4^2}[/tex3]
[tex3]||\vec{v}\wedge \vec{AP}|| = \sqrt{25.2}[/tex3]
[tex3]||\vec{v}\wedge \vec{AP}|| = 5\sqrt{2}[/tex3]
e
[tex3]||\vec{v}|| = \sqrt{3^2+(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{11}[/tex3]
Assim, a distância de um ponto P à uma reta é calculada pela seguinte fórmula:
[tex3]d(P,r) = \frac{||\vec{v}\wedge \vec{AP}||}{||\vec{v}|| }[/tex3]
[tex3]d(P,r) = \frac{5\sqrt{2}}{ \sqrt{11} }[/tex3]
Portanto,
[tex3]d(P,r) = \frac{5\sqrt{22}}{11} \ u.c.[/tex3]
Excelente estudo!