Ensino Médio ⇒ Distancia ponto - reta Tópico resolvido

[starbelo]

Calcular a distância do ponto P = (1, 2, 0) à reta determinada pelos pontos
A = (0, 1, 2) e B = (3, 0, 1)

Resposta

---

[tex3]\dfrac{5\sqrt{22}}{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\dfrac{5\sqrt{22}}{11}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

A = ( 0 , 1 , 2 ) → Ponto da reta e P = ( 1 , 2 , 0 ).

Determinação do vetor [tex3]\vec{AP}[/tex3]

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[tex3]\vec{AP}[/tex3]

:

[tex3]\vec{AP} = P-A=( 1,1,-2)[/tex3]

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[tex3]\vec{AP} = P-A=( 1,1,-2)[/tex3]

.


Determinação do vetor diretor da reta [tex3]\vec{v} = \vec{AB}[/tex3]

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[tex3]\vec{v} = \vec{AB}[/tex3]

:

[tex3]\vec{v} = \vec{AB} = B-A=( 3 , - 1 , - 1 )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{v} = \vec{AB} = B-A=( 3 , - 1 , - 1 )[/tex3]

.

Daí,

[tex3]\vec{v}\wedge \vec{AP} = \left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
3 & -1 & -1\\
1 & 1 & -2
\end{array} \right|[/tex3]

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[tex3]\vec{v}\wedge \vec{AP} = \left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
3 & -1 & -1\\
1 & 1 & -2
\end{array} \right|[/tex3]

Desenvolvendo o determinante acima, obtemos

[tex3]\vec{v}\wedge \vec{AP} = 3
\vec{i} +5\vec{j} + 4 \vec{k} = ( 3 , 5 , 4 )[/tex3]

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[tex3]\vec{v}\wedge \vec{AP} = 3
\vec{i} +5\vec{j} + 4 \vec{k} = ( 3 , 5 , 4 )[/tex3]

Ainda,

[tex3]||\vec{v}\wedge \vec{AP}|| = \sqrt{3^2+5^2+4^2}[/tex3]

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[tex3]||\vec{v}\wedge \vec{AP}|| = \sqrt{3^2+5^2+4^2}[/tex3]

[tex3]||\vec{v}\wedge \vec{AP}|| = \sqrt{25.2}[/tex3]

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[tex3]||\vec{v}\wedge \vec{AP}|| = \sqrt{25.2}[/tex3]

[tex3]||\vec{v}\wedge \vec{AP}|| = 5\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]||\vec{v}\wedge \vec{AP}|| = 5\sqrt{2}[/tex3]

e

[tex3]||\vec{v}|| = \sqrt{3^2+(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]||\vec{v}|| = \sqrt{3^2+(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{11}[/tex3]

Assim, a distância de um ponto P à uma reta é calculada pela seguinte fórmula:

[tex3]d(P,r) = \frac{||\vec{v}\wedge \vec{AP}||}{||\vec{v}|| }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d(P,r) = \frac{||\vec{v}\wedge \vec{AP}||}{||\vec{v}|| }[/tex3]

[tex3]d(P,r) = \frac{5\sqrt{2}}{ \sqrt{11} }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d(P,r) = \frac{5\sqrt{2}}{ \sqrt{11} }[/tex3]

Portanto,

[tex3]d(P,r) = \frac{5\sqrt{22}}{11} \ u.c.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d(P,r) = \frac{5\sqrt{22}}{11} \ u.c.[/tex3]

Excelente estudo!