Ensino Médio ⇒ Função trigonométrica ( Máximos e Mínimos ) Tópico resolvido

[careca]

Calcule o valor máximo e mínimo para a função:

[tex3]f(x) = a.sen\alpha + b.cos\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = a.sen\alpha + b.cos\alpha [/tex3]

[snooplammer]

Tome [tex3]z = a + bi[/tex3]

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[tex3]z = a + bi[/tex3]

. Sabemos também que [tex3]z = \sqrt{a^2+ b^2} \cis \varphi[/tex3]

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[tex3]z = \sqrt{a^2+ b^2} \cis \varphi[/tex3]

[tex3]a = \sqrt{a^2+ b^2}\cos \varphi \iff \frac{a}{\sqrt{a^2+ b^2}} = \cos \varphi [/tex3]

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[tex3]a = \sqrt{a^2+ b^2}\cos \varphi \iff \frac{a}{\sqrt{a^2+ b^2}} = \cos \varphi [/tex3]

e também temos

[tex3]b = \sqrt{a^2+ b^2}\sen \varphi \iff \frac{b}{\sqrt{a^2+ b^2}} = \sen \varphi [/tex3]

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[tex3]b = \sqrt{a^2+ b^2}\sen \varphi \iff \frac{b}{\sqrt{a^2+ b^2}} = \sen \varphi [/tex3]

.

Então, em [tex3]f(x)[/tex3]

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[tex3]f(x)[/tex3]

, vamos forçar a aparecer [tex3]\frac{a}{\sqrt{a^2+ b^2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{\sqrt{a^2+ b^2}}[/tex3]

e [tex3]\frac{b}{\sqrt{a^2+ b^2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{b}{\sqrt{a^2+ b^2}}[/tex3]

.

[tex3]f(x) = \frac{\sqrt{a^2+ b^2}}{\sqrt{a^2+ b^2}} a\sen\alpha +\frac{\sqrt{a^2+ b^2}}{\sqrt{a^2+ b^2}} b\cos\alpha [/tex3]

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[tex3]f(x) = \frac{\sqrt{a^2+ b^2}}{\sqrt{a^2+ b^2}} a\sen\alpha +\frac{\sqrt{a^2+ b^2}}{\sqrt{a^2+ b^2}} b\cos\alpha [/tex3]

[tex3]f(x) =\sqrt{a^2+ b^2}\cos \varphi \sen \alpha + \sqrt{a^2+ b^2}\sen \varphi \cos \alpha [/tex3]

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[tex3]f(x) =\sqrt{a^2+ b^2}\cos \varphi \sen \alpha + \sqrt{a^2+ b^2}\sen \varphi \cos \alpha [/tex3]

[tex3]f(x) = \sqrt{a^2+b^2}(\cos \varphi \sen \alpha + \sen \varphi \cos \alpha)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = \sqrt{a^2+b^2}(\cos \varphi \sen \alpha + \sen \varphi \cos \alpha)[/tex3]

[tex3]f(x) = \sqrt{a^2+b^2}\sen(\alpha + \varphi) [/tex3]

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[tex3]f(x) = \sqrt{a^2+b^2}\sen(\alpha + \varphi) [/tex3]

Logo, o máximo vem pra [tex3]\sen(\alpha + \varphi) = 1[/tex3]

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[tex3]\sen(\alpha + \varphi) = 1[/tex3]

e o mínimo vem pra [tex3]\sen(\alpha + \varphi) = -1[/tex3]

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[tex3]\sen(\alpha + \varphi) = -1[/tex3]

[tex3]f(x)_{max} = \sqrt{a^2+b^2} [/tex3]

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[tex3]f(x)_{max} = \sqrt{a^2+b^2} [/tex3]

[tex3]f(x)_{min} = -\sqrt{a^2+b^2} [/tex3]

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[tex3]f(x)_{min} = -\sqrt{a^2+b^2} [/tex3]

[careca]

Resolução muito elegante, eu não esperava esta questão guardar tanta beleza. Muito obrigado!