Calcule o valor máximo e mínimo para a função:
[tex3]f(x) = a.sen\alpha + b.cos\alpha [/tex3]
Ensino Médio ⇒ Função trigonométrica ( Máximos e Mínimos ) Tópico resolvido
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Mar 2021
01
12:45
Função trigonométrica ( Máximos e Mínimos )
Por que você quer tanto isso? - Porque disseram que eu não conseguiria - Homens de Honra
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Mar 2021
01
22:22
Re: Função trigonométrica ( Máximos e Mínimos )
Tome [tex3]z = a + bi[/tex3]
[tex3]a = \sqrt{a^2+ b^2}\cos \varphi \iff \frac{a}{\sqrt{a^2+ b^2}} = \cos \varphi [/tex3] e também temos
[tex3]b = \sqrt{a^2+ b^2}\sen \varphi \iff \frac{b}{\sqrt{a^2+ b^2}} = \sen \varphi [/tex3] .
Então, em [tex3]f(x)[/tex3] , vamos forçar a aparecer [tex3]\frac{a}{\sqrt{a^2+ b^2}}[/tex3] e [tex3]\frac{b}{\sqrt{a^2+ b^2}}[/tex3] .
[tex3]f(x) = \frac{\sqrt{a^2+ b^2}}{\sqrt{a^2+ b^2}} a\sen\alpha +\frac{\sqrt{a^2+ b^2}}{\sqrt{a^2+ b^2}} b\cos\alpha [/tex3]
[tex3]f(x) =\sqrt{a^2+ b^2}\cos \varphi \sen \alpha + \sqrt{a^2+ b^2}\sen \varphi \cos \alpha [/tex3]
[tex3]f(x) = \sqrt{a^2+b^2}(\cos \varphi \sen \alpha + \sen \varphi \cos \alpha)[/tex3]
[tex3]f(x) = \sqrt{a^2+b^2}\sen(\alpha + \varphi) [/tex3]
Logo, o máximo vem pra [tex3]\sen(\alpha + \varphi) = 1[/tex3] e o mínimo vem pra [tex3]\sen(\alpha + \varphi) = -1[/tex3]
[tex3]f(x)_{max} = \sqrt{a^2+b^2} [/tex3]
[tex3]f(x)_{min} = -\sqrt{a^2+b^2} [/tex3]
. Sabemos também que [tex3]z = \sqrt{a^2+ b^2} \cis \varphi[/tex3]
[tex3]a = \sqrt{a^2+ b^2}\cos \varphi \iff \frac{a}{\sqrt{a^2+ b^2}} = \cos \varphi [/tex3] e também temos
[tex3]b = \sqrt{a^2+ b^2}\sen \varphi \iff \frac{b}{\sqrt{a^2+ b^2}} = \sen \varphi [/tex3] .
Então, em [tex3]f(x)[/tex3] , vamos forçar a aparecer [tex3]\frac{a}{\sqrt{a^2+ b^2}}[/tex3] e [tex3]\frac{b}{\sqrt{a^2+ b^2}}[/tex3] .
[tex3]f(x) = \frac{\sqrt{a^2+ b^2}}{\sqrt{a^2+ b^2}} a\sen\alpha +\frac{\sqrt{a^2+ b^2}}{\sqrt{a^2+ b^2}} b\cos\alpha [/tex3]
[tex3]f(x) =\sqrt{a^2+ b^2}\cos \varphi \sen \alpha + \sqrt{a^2+ b^2}\sen \varphi \cos \alpha [/tex3]
[tex3]f(x) = \sqrt{a^2+b^2}(\cos \varphi \sen \alpha + \sen \varphi \cos \alpha)[/tex3]
[tex3]f(x) = \sqrt{a^2+b^2}\sen(\alpha + \varphi) [/tex3]
Logo, o máximo vem pra [tex3]\sen(\alpha + \varphi) = 1[/tex3] e o mínimo vem pra [tex3]\sen(\alpha + \varphi) = -1[/tex3]
[tex3]f(x)_{max} = \sqrt{a^2+b^2} [/tex3]
[tex3]f(x)_{min} = -\sqrt{a^2+b^2} [/tex3]
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Mar 2021
01
23:58
Re: Função trigonométrica ( Máximos e Mínimos )
Resolução muito elegante, eu não esperava esta questão guardar tanta beleza. Muito obrigado!
Por que você quer tanto isso? - Porque disseram que eu não conseguiria - Homens de Honra
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