Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Hanon** » Qui 25 Fev, 2021 13:10 · Mensagem não lida por **Hanon** » Qui 25 Fev, 2021 13:10

Na figura a seguir [tex3]ABCD[/tex3] é um quadrado, [tex3]\tau(D,DA)[/tex3] é um quarto de circunferência e [tex3]\eta[/tex3] é a semicircunferência de diâmetro [tex3]AB[/tex3] . Calcule em função do lado do quadrado [tex3]ABCD[/tex3] o raio do círculo [tex3]\omega[/tex3] , que é tangente a [tex3]\tau[/tex3] , [tex3]\eta[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] .

: problema.png (17.51 KiB) Exibido 1141 vezes

Mensagem não lidapor **careca** » Qui 25 Fev, 2021 23:31 · Mensagem não lida por **careca** » Qui 25 Fev, 2021 23:31

Questão complexa. Estou há algum tempo tentando resolvê-la por plana. Acredito a forma mais fácil seja utilizando o Teorema de Marlen no centro da circunferência menor.

careca, Inversão cai bem

As homotetias ajudam um pouco. Sem contas, não sei se consigo.

: 20210226_081904.jpg (21.44 KiB) Exibido 1047 vezes

Sem perda de generalidade admita que o lado do quadrado mede 1. Seja [tex3]Γ [/tex3] a circunferência de inversão de raio 1 e centro em A. Agora podemos usar a inversão:
1)O inverso de [tex3]\eta[/tex3] em relação a [tex3]Γ [/tex3] será uma reta passando por BC;
2)O inverso de [tex3]\tau [/tex3] em relação a [tex3]Γ [/tex3] será uma reta passando pela intersecção entre estas duas;
3)Como [tex3]\omega[/tex3] é tangente a [tex3]\tau[/tex3] , [tex3]\eta[/tex3] e ao lado AB, seu inverso será tangente a [tex3]\eta*[/tex3] , [tex3]\tau*[/tex3] e à reta passando por AB.
Pelo teorema de pitágoras, o quadrado da distância [tex3](d^2)[/tex3] entre o centro da circunferência de inversão e o centro de [tex3]\omega*[/tex3] será: [tex3]d^2=(\frac{1}{4}+1)^2+(\frac{1}{4})^2⇒d^2=\frac{13}{8}.[/tex3]
Pela fórmula da distância da inversão, o nosso raio valerá, portanto: [tex3]R(\omega)=\frac{1^2×\frac{1}{4}}{\frac{13}{8}-(\frac{1}{4})^2}⇒R(\omega)=\frac{4}{25}[/tex3]

Mensagem não lidapor **careca** » Sex 26 Fev, 2021 08:32 · Mensagem não lida por **careca** » Sex 26 Fev, 2021 08:32

Achei isso aqui:

: plana.png (53.93 KiB) Exibido 1071 vezes

Mensagem não lidapor **careca** » Sex 26 Fev, 2021 08:40 · Mensagem não lida por **careca** » Sex 26 Fev, 2021 08:40

Hannon, você tem o gabarito meu consagrado?

careca, [tex3]x=\frac{\sqrt{1-4r}}{2}[/tex3] e se você aplicar o teorema de Marlen as expressões se igualam.

: 1614344471264.jpg (9.32 KiB) Exibido 1056 vezes

O raio 4/25 cabe perfeitamente...

: 20210226_224218.jpg (27.44 KiB) Exibido 948 vezes

a questão é se dá ou não pra fugir do pitágoras

Ensino Médio ⇒ Circunferência Tópico resolvido

Circunferência

Re: Circunferência

Re: Circunferência

Re: Circunferência

Re: Circunferências

Re: Circunferência

Re: Circunferência

Re: Circunferência

Re: Circunferência

Re: Circunferência

Ensino Médio ⇒ Circunferência Tópico resolvido

Entrar • Registrar