Ensino Médio ⇒ Analise combinatória: combinação com repetição Tópico resolvido

[Lalinda]

Como prêmio pela vitória em uma competição, serão distribuídas 12 moedas de ouro idênticas entre três pessoas da equipe vencedora, e cada uma deverá receber, pelo menos, 2 moedas. O número de maneiras distintas de efetuarmos essa distribuição é:
A) 12
B) 28
C) 38
D) 40
E) 120

Resposta

---

Gab:B

Ps:Eu uso a formula, mas sempre está dando 56. Alguém me ajuda?

[Deleted User 25040]

como vc fez?
se todos precisam receber pelo menor duas moedas, depois de dar duas moedas para cada pessoa sobram 6 moedas, agora precisamos ver de quantos modos podemos dar essas moedas.
uma maneira de achar tal resultado é contar o número de soluções da seguinte equação
[tex3]p_1+p_2+p_3=6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p_1+p_2+p_3=6[/tex3]

onde [tex3]p_i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p_i[/tex3]

representa a quantidade de moedas que aquela pessoa vai ganhar
agora podemos usar a fórmula ou apenas usar o raciocínio, para ser mais rápido vou só aplicar a fórmula e deixar um link explicando
link do poti
[tex3]\begin{pmatrix}
6+3-1 \\
3-1 \\
\end{pmatrix}=28[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
6+3-1 \\
3-1 \\
\end{pmatrix}=28[/tex3]

[Lalinda]

[tex3]\begin{pmatrix}
6+3-1 \\
3-1 \\
\end{pmatrix}=28[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
6+3-1 \\
3-1 \\
\end{pmatrix}=28[/tex3]

Que estranho, no meu livro a formula está assim:

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[csmarcelo]

Na resolução desse tipo de questão, há dois ensinamentos distintos.

Considere a equação linear [tex3]a_1+a_2+...+a_n=b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_1+a_2+...+a_n=b[/tex3]

, onde [tex3]b\in\mathbb{N}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b\in\mathbb{N}[/tex3]

.

Algumas literaturas ensinam que o número da soluções inteiras não negativas é dado por:

[tex3]\begin{pmatrix}
n+b-1 \\
n-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
n+b-1 \\
n-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Essa foi a fórmula ensinada pelo poti e usada pelo null.

Outras ensinam que é dado por:

[tex3]\begin{pmatrix}
n+b-1 \\
b \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
n+b-1 \\
b \\
\end{pmatrix}[/tex3]

, que coincide com [tex3]CR^b_n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CR^b_n[/tex3]

Usando essa fórmula, você deve fazer [tex3]p[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p[/tex3]

igual a 6 e não 3.

No fim das contas, dá no mesmo, pois [tex3]C^a_b=C^a_{a-b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^a_b=C^a_{a-b}[/tex3]

.