Ensino MédioFunção do 3° e Função decrescente.

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Giii
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Função do 3° e Função decrescente.

Mensagem não lida por Giii »

Seja f(x) = [tex3]ax^{3}[/tex3] + [tex3]bx^{2}[/tex3] + cx onde a, b, c [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3] não nulos. Sabendo que o gráfico de f intercepta o eixo x em exatamente dois pontos distintos, podemos concluir que:

a- [tex3]b^{2}[/tex3] > 4ac.
b- Todos os pontos de intersecção tem coordenada x não nula.
c- [tex3]b^{2}[/tex3] = 4ac.
d- Todos os pontos de intersecção tem coordenada x nula.
e- [tex3]b^{2}[/tex3] < 4ac.
Resposta

[tex3]b^{2}[/tex3] = 4ac.

Seja f: [tex3]\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] a função definida por f(x) = [tex3]\begin{cases}
x+1, x <0 \\
2-cosx, 0\leq x\leq \pi \\
(x-\pi )^{2}+ 3, x>\pi
\end{cases}[/tex3]

a- f é decrescente.
b- f é crescente.
c- f é injetora.
d- f admite inversa.
e- f é sobrejetora.
Resposta

f é decrescente.
Alguém poderia me ajudar com essas questões??

Última edição: Giii (Qui 21 Jan, 2021 17:06). Total de 2 vezes.



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Cássio
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Re: Função do 3° e Função decrescente.

Mensagem não lida por Cássio »

  1. Veja que [tex3]f(x)=x(x^2+bx+c).[/tex3] Portanto, uma das raízes é [tex3]x=0,[/tex3] que é um dos pontos em que o gráfico intersecta o eixo x. Como o gráfico intersecta o eixo x em apenas dois pontos, então só existe apenas uma outra raiz [tex3]x_0\neq 0.[/tex3] Como um polinômio de 3º grau deve ter três raízes, então, temos o seguinte:
    * Ou 0 é raiz dupla; Neste caso, 0 então será raiz de [tex3]x^2+bx+c[/tex3] , mas isso implica [tex3]c=0,[/tex3] contradição.
    * Logo, [tex3]x_0[/tex3] é raiz dupla; Portanto, [tex3]x_0[/tex3] é raiz dupla do polinômio [tex3]x^2+bx+c.[/tex3] Quando ocorre de um polinômio de segundo grau haver apenas uma raiz é porque o seu discriminante é nulo, ou seja, [tex3]b^2-4ac=0.[/tex3]
  • Me parece que a função é Crescente, portanto, Injetora; Também é sobrejetora, portanto, possui inversa.. Faça o gráfico para poder ver.



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Re: Função do 3° e Função decrescente.

Mensagem não lida por Giii »

Cássio Mas por que a raíz é zero?? Como encontrou ela??? E a outra, a função é decrescente. Eu não entendi como fazê - la.



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Re: Função do 3° e Função decrescente.

Mensagem não lida por Cássio »

Uma das raízes é zero porque substituindo no polinômio dá zero. Outra forma de ver isso é que sempre que você fatora [tex3]p(x)=q_1(x)q_2(x),[/tex3] as raízes de [tex3]p(x)[/tex3] é o conjunto união das raízes de [tex3]q_1[/tex3] e [tex3]q_2.[/tex3] Como eu havia fatorado [tex3]f(x)=x(ax^2+bx+c),[/tex3] então zero é uma raiz.



No segundo caso, a função não é decrescente pois, por exemplo, uma parte dela é a função [tex3]x+1[/tex3] que é crescente em qualquer intervalo.

Última edição: Cássio (Seg 25 Jan, 2021 21:44). Total de 1 vez.


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