Ensino Médio ⇒ Função do 3° e Função decrescente.

[Deleted User 23841]

Seja f(x) = [tex3]ax^{3} + bx^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ax^{3} + bx^{2}[/tex3]

+ cx onde a, b, c [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

não nulos. Sabendo que o gráfico de f intercepta o eixo x em exatamente dois pontos distintos, podemos concluir que:

a- [tex3]b^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^{2}[/tex3]

> 4ac.
b- Todos os pontos de intersecção tem coordenada x não nula.
c- [tex3]b^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^{2}[/tex3]

= 4ac.
d- Todos os pontos de intersecção tem coordenada x nula.
e- [tex3]b^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^{2}[/tex3]

< 4ac.

Resposta

---

[tex3]b^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^{2}[/tex3]

= 4ac.

Seja f: [tex3]\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

a função definida por f(x) = [tex3]\begin{cases}
x+1, x <0 \\
2-cosx, 0\leq x\leq \pi \\
(x-\pi )^{2}+ 3, x>\pi
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
x+1, x <0 \\
2-cosx, 0\leq x\leq \pi \\
(x-\pi )^{2}+ 3, x>\pi
\end{cases}[/tex3]

a- f é decrescente.
b- f é crescente.
c- f é injetora.
d- f admite inversa.
e- f é sobrejetora.

Resposta

---

f é decrescente.

Alguém poderia me ajudar com essas questões??

[Cássio]

1. Veja que [tex3]f(x)=x(x^2+bx+c).[/tex3]

   Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

   [tex3]f(x)=x(x^2+bx+c).[/tex3]

   Portanto, uma das raízes é [tex3]x=0,[/tex3]

   Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

   [tex3]x=0,[/tex3]

   que é um dos pontos em que o gráfico intersecta o eixo x. Como o gráfico intersecta o eixo x em apenas dois pontos, então só existe apenas uma outra raiz [tex3]x_0\neq 0.[/tex3]

   Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

   [tex3]x_0\neq 0.[/tex3]

   Como um polinômio de 3º grau deve ter três raízes, então, temos o seguinte:
   * Ou 0 é raiz dupla; Neste caso, 0 então será raiz de [tex3]x^2+bx+c[/tex3]

   Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

   [tex3]x^2+bx+c[/tex3]

   , mas isso implica [tex3]c=0,[/tex3]

   Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

   [tex3]c=0,[/tex3]

   contradição.
   * Logo, [tex3]x_0[/tex3]

   Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

   [tex3]x_0[/tex3]

   é raiz dupla; Portanto, [tex3]x_0[/tex3]

   Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

   [tex3]x_0[/tex3]

   é raiz dupla do polinômio [tex3]x^2+bx+c.[/tex3]

   Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

   [tex3]x^2+bx+c.[/tex3]

   Quando ocorre de um polinômio de segundo grau haver apenas uma raiz é porque o seu discriminante é nulo, ou seja, [tex3]b^2-4ac=0.[/tex3]

   Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

   [tex3]b^2-4ac=0.[/tex3]

• Me parece que a função é Crescente, portanto, Injetora; Também é sobrejetora, portanto, possui inversa.. Faça o gráfico para poder ver.

[Deleted User 23841]

Cássio Mas por que a raíz é zero?? Como encontrou ela??? E a outra, a função é decrescente. Eu não entendi como fazê - la.

[Cássio]

Uma das raízes é zero porque substituindo no polinômio dá zero. Outra forma de ver isso é que sempre que você fatora [tex3]p(x)=q_1(x)q_2(x),[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=q_1(x)q_2(x),[/tex3]

as raízes de [tex3]p(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)[/tex3]

é o conjunto união das raízes de [tex3]q_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]q_1[/tex3]

e [tex3]q_2.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]q_2.[/tex3]

Como eu havia fatorado [tex3]f(x)=x(ax^2+bx+c),[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=x(ax^2+bx+c),[/tex3]

então zero é uma raiz.



No segundo caso, a função não é decrescente pois, por exemplo, uma parte dela é a função [tex3]x+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+1[/tex3]

que é crescente em qualquer intervalo.