Ensino MédioCombinatória (Combinação Completa) Tópico resolvido

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flamel
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Combinatória (Combinação Completa)

Mensagem não lida por flamel »

84, 2613, 6501 são exemplos de alguns inteiros cuja soma dos algarismos
é igual a 12. Quantos números inteiros entre 1 e 10.000 tem soma dos algarismos
igual a 12?
Resposta

GABARITO: 415



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NigrumCibum
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Re: Combinatória (Combinação Completa)

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Como 10.000 é o único número da sequência que possui 5 digitos e sua soma não resulta em 12, o número procurado será da forma [tex3](abcd)_{10}[/tex3] , onde [tex3]a+b+c+d=12[/tex3] , [tex3]0≤a,b,c,d≤9[/tex3] . A equação [tex3]a+b+c+d=12 [/tex3] possui [tex3]\binom {12+4-1}{4-1}=455[/tex3] soluções inteiras não negativas. No entanto, nem todas satisfazem a restrição dada. Vamos, portanto, descontar essas soluções. Suponhamos, para efeito de análise, que d>9, desta forma:
[tex3]1)~d=10: a+b+c=2\implies \binom{2+3-1}{3-1}=6 [/tex3] soluções inteiras não negativas.
[tex3]2)~d=11: a+b+c=1\implies \binom{1+3-1}{3-1}= 3[/tex3] soluções inteiras não negativas.
[tex3]3)~d=12:a+b+c=0\implies \binom{0+3-1}{3-1}= 1[/tex3] solução inteira não negativa.
Como esse processo será repetido mais 3 vezes com letras diferentes, então podemos concluir que existem [tex3]455-4×(6+3+1)=415[/tex3] números inteiros entre 1 e 10.000 que possuem a soma de seus algarismos igual a 12.

Última edição: NigrumCibum (Qui 21 Jan, 2021 14:30). Total de 2 vezes.


Soleil de minuit.

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flamel
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Re: Combinatória (Combinação Completa)

Mensagem não lida por flamel »

NigrumCibum escreveu:
Qui 21 Jan, 2021 10:06
Como 10.000 é o único número da sequência que possui 5 digitos e sua soma não resulta em 12, o número procurado será da forma [tex3](abcd)_{10}[/tex3] , onde [tex3]a+b+c+d=12[/tex3] , [tex3]0≤a,b,c,d≤9[/tex3] . A equação [tex3]a+b+c+d=12 [/tex3] possui [tex3]\binom {12+4-1}{4-1}=455[/tex3] soluções inteiras não negativas. No entanto, nem todas satisfazem a restrição dada. Vamos, portanto, descontar essas soluções. Suponhamos, para efeito de análise, que d>9, desta forma:
[tex3]1)~d=10: a+b+c=2\implies \binom{2+3-1}{3-1}=6 [/tex3] soluções inteiras não negativas.
[tex3]2)~d=11: a+b+c=1\implies \binom{1+3-1}{3-1}= 3[/tex3] soluções inteiras não negativas.
[tex3]3)~d=12:a+b+c=0\implies \binom{0+3-1}{3-1}= 1[/tex3] solução inteira não negativa.
Como esse processo será repetido mais 3 vezes com letras diferentes, então podemos concluir que existem [tex3]455-4×(6+3+1)=415[/tex3] números inteiros entre 1 e 10.000 que possuem a soma de seus algarismos igual a 12.
Grato, NigrumCibum!
Havia pensado em abrir em casos e fazer uma solução para números de dois, três e quatro dígitos


nullius in verba.

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NigrumCibum
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Re: Combinatória (Combinação Completa)

Mensagem não lida por NigrumCibum »

flamel, acho que a solução do undefinied3 pode ajudar em problemas futuros: viewtopic.php?f=2&t=90313&p=249190#p249190



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