é igual a 12. Quantos números inteiros entre 1 e 10.000 tem soma dos algarismos
igual a 12?
Resposta
GABARITO: 415
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Grato, NigrumCibum!NigrumCibum escreveu: ↑Qui 21 Jan, 2021 10:06Como 10.000 é o único número da sequência que possui 5 digitos e sua soma não resulta em 12, o número procurado será da forma [tex3](abcd)_{10}[/tex3] , onde [tex3]a+b+c+d=12[/tex3] , [tex3]0≤a,b,c,d≤9[/tex3] . A equação [tex3]a+b+c+d=12 [/tex3] possui [tex3]\binom {12+4-1}{4-1}=455[/tex3] soluções inteiras não negativas. No entanto, nem todas satisfazem a restrição dada. Vamos, portanto, descontar essas soluções. Suponhamos, para efeito de análise, que d>9, desta forma:
[tex3]1)~d=10: a+b+c=2\implies \binom{2+3-1}{3-1}=6 [/tex3] soluções inteiras não negativas.
[tex3]2)~d=11: a+b+c=1\implies \binom{1+3-1}{3-1}= 3[/tex3] soluções inteiras não negativas.
[tex3]3)~d=12:a+b+c=0\implies \binom{0+3-1}{3-1}= 1[/tex3] solução inteira não negativa.
Como esse processo será repetido mais 3 vezes com letras diferentes, então podemos concluir que existem [tex3]455-4×(6+3+1)=415[/tex3] números inteiros entre 1 e 10.000 que possuem a soma de seus algarismos igual a 12.