Ensino Médio

Seja n um inteiro não negativo. Definimos os polinômios de Tchebyshev por [tex3]T_n(x)=cos[n(arccosx)],-1\leq x\leq 1[/tex3] . Analise as afirmações:

I. [tex3]T_6(x)=32x^6-49x^4+19x^2-1[/tex3]
II. Todas as raízes de [tex3]T_4(x)[/tex3] são números irracionais
III. O conjunto solução de [tex3]T_3(x)\geq 0[/tex3] é [tex3][\frac{\sqrt{2}}{2};\infty )[/tex3]
IV. O coeficiente líder de [tex3]T_{2012}(x)[/tex3] é [tex3]2^{2011}[/tex3]

Quantas são verdadeiras?

Resposta

2

Bem, seria útil se eles já tivessem dito a recorrência de Tchebyshev no enunciado. Você pode fazer via recorrências, que é

[tex3]T_{n+1}(x) = 2xT_n(x)-T_{n-1}(x)[/tex3] , daí toma [tex3]n = 0,1,2,3,4,5[/tex3] . Ou pode fazer via complexos [tex3]\cos 6x = Re\[(\cos x + i\sen x)^6\][/tex3] . Em qualquer dos modos, verá que I) é falsa.

II) é equivalente a dizer que todas as raízes da expansão em [tex3]\cos 4x = 0[/tex3] é irracional, expanda e verá que é verdade.

III) é equivalente a avaliar [tex3]4x^3-3x \geqslant 0[/tex3] . Verá que é falso.

IV) é verdade, fico devendo a explicação dessa.

O coeficiente líder de [tex3]T_{k}(x)[/tex3] é [tex3]2^{k-1}[/tex3] .
Demonstração nas páginas 18 e 19
Apesar de parecer assustador, a demonstração é simples

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