Ensino Médio

Mostre que se [tex3]\alpha [/tex3] é uma raíz da equação [tex3]4x^2+2x-1[/tex3] , então, [tex3]4\alpha ^3-3\alpha [/tex3] é a outra raíz.

Se [tex3]\alpha[/tex3] é raiz, vem que [tex3]4\alpha^2 + 2\alpha - 1 = 0 \ (i) [/tex3] .

Se [tex3]4\alpha ^3-3\alpha [/tex3] é raíz, vem que [tex3]4(4\alpha ^3-3\alpha)^2 + 2(4\alpha ^2-3\alpha) - 1 =0[/tex3]

[tex3]4\alpha^2(4\alpha^2-3)^2 + 2\alpha(4\alpha ^2-3) - 1 =0[/tex3]

Mas, da eqação [tex3](i)[/tex3] , vem que [tex3]4\alpha^2-1 = -2\alpha \implies 4\alpha^2 -3 = -2\alpha - 2[/tex3]

[tex3]4\alpha^2(-2\alpha - 2)^2 + 2\alpha(-2\alpha - 2) - 1 =0[/tex3]

[tex3]16\alpha^4+32\alpha^3+12\alpha^2-4\alpha-1 = 0[/tex3]

De [tex3](i) [/tex3] [tex3]16\alpha^4 +8\alpha^3 - 4\alpha^2 = 0[/tex3]

[tex3]16\alpha^4+32\alpha^3+12\alpha^2-4\alpha-1 = (16\alpha^4 +8\alpha^3 - 4\alpha^2)+(24\alpha^3+16\alpha^2-4\alpha-1)= 0 [/tex3]

[tex3]24\alpha^3+16\alpha^2-4\alpha-1= 0[/tex3]

De [tex3](i) [/tex3] [tex3]24\alpha^3 +12\alpha^2 - 6\alpha = 0[/tex3]

[tex3]24\alpha^3+16\alpha^2-4\alpha-1= (24\alpha^3 + 12 \alpha^2 - 6\alpha) +(4\alpha^2 + 2\alpha-1) = 0[/tex3]

[tex3]\blacklozenge[/tex3]

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