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Calcule o valor da expressão:
[tex3]E=\frac12\arctg\left(\frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt{3}}\right)-\frac13\arctg\left(\frac{2\sqrt[3]{2}+1}{3}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]E=\frac12\arctg\left(\frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt{3}}\right)-\frac13\arctg\left(\frac{2\sqrt[3]{2}+1}{3}\right)[/tex3]

[tex3]a) \ \frac{\pi}{6}[/tex3]

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[tex3]a) \ \frac{\pi}{6}[/tex3]

[tex3]b) \ \frac{\pi}{12}[/tex3]

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[tex3]b) \ \frac{\pi}{12}[/tex3]

[tex3]c) \ \frac{\pi}{36}[/tex3]

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[tex3]c) \ \frac{\pi}{36}[/tex3]

[tex3]d) \ \frac{\pi}{3}[/tex3]

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[tex3]d) \ \frac{\pi}{3}[/tex3]

[tex3]e) \ \frac{\pi}{4}[/tex3]

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[tex3]e) \ \frac{\pi}{4}[/tex3]

No final, o correto seria [tex3]-\frac{1}{3}\arctg(\frac{2\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt{3}})[/tex3]

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[tex3]-\frac{1}{3}\arctg(\frac{2\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt{3}})[/tex3]

que resultaria na letra c, mas ainda não projetei uma ideia de como resolver...

acho que o primeiro passo é calcular a tangente de [tex3]\frac{\pi}{12}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{12}[/tex3]

, a terça parte de [tex3]\frac{\pi}4[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}4[/tex3]

De qualquer forma dá sempre para abrir no braço

[tex3]6E=3\arctg\left(\frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt{3}}\right)-2\arctg\left(\frac{2\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt{3}}\right)[/tex3]

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[tex3]6E=3\arctg\left(\frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt{3}}\right)-2\arctg\left(\frac{2\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt{3}}\right)[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt{3}} = x[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt{3}} = x[/tex3]

[tex3]6E=3\arctg(x)-2\arctg(2x-\frac{1}{\sqrt{3}})[/tex3]

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[tex3]6E=3\arctg(x)-2\arctg(2x-\frac{1}{\sqrt{3}})[/tex3]

[tex3]6E=3\arctg(x)-2\arctg(2x-tg(30^o))[/tex3]

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[tex3]6E=3\arctg(x)-2\arctg(2x-tg(30^o))[/tex3]

[tex3]tg(6E)=tg(3\arctg(x))-2\arctg(2x-tg(30^o)))[/tex3]

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[tex3]tg(6E)=tg(3\arctg(x))-2\arctg(2x-tg(30^o)))[/tex3]

[tex3]tg(6E)= \frac{tg(3\arctg(x))-tg(2\arctg(2x-tg(30^o))}{1+tg(3\arctg(x))\cdot tg(2\arctg(2x-tg(30^o))}[/tex3]

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[tex3]tg(6E)= \frac{tg(3\arctg(x))-tg(2\arctg(2x-tg(30^o))}{1+tg(3\arctg(x))\cdot tg(2\arctg(2x-tg(30^o))}[/tex3]

[tex3]tg(6E) = \frac{\frac{3x-x^3}{1-3x^2} - \frac{2\cdot (2x-tg(30^o))}{1-(2x-tg(30^o)^2}}{1+\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\cdot \frac{2\cdot (2x-tg(30^o))}{1-(2x-tg(30^o)^2} }[/tex3]

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[tex3]tg(6E) = \frac{\frac{3x-x^3}{1-3x^2} - \frac{2\cdot (2x-tg(30^o))}{1-(2x-tg(30^o)^2}}{1+\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\cdot \frac{2\cdot (2x-tg(30^o))}{1-(2x-tg(30^o)^2} }[/tex3]

[tex3]tg(6E) = \frac{\frac{3x-x^3}{1-3x^2} - \frac{4x-2tg(30^o)}{1-4x^2+4xtg(30^o)-tg^2(30^o)}}{1+\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\cdot \frac{4x-2tg(30^o)}{1-4x^2+4xtg(30^o)-tg^2(30^o)} }[/tex3]

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[tex3]tg(6E) = \frac{\frac{3x-x^3}{1-3x^2} - \frac{4x-2tg(30^o)}{1-4x^2+4xtg(30^o)-tg^2(30^o)}}{1+\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\cdot \frac{4x-2tg(30^o)}{1-4x^2+4xtg(30^o)-tg^2(30^o)} }[/tex3]

[tex3]tg(6E) = \frac{\frac{3x-x^3}{1-3x^2} - \frac{6x-\sqrt{3}}{1-6x^2+2x\sqrt{3}}}{1+\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\cdot \frac{6x-\sqrt{3}}{1-6x^2+2x\sqrt{3}} }[/tex3]

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[tex3]tg(6E) = \frac{\frac{3x-x^3}{1-3x^2} - \frac{6x-\sqrt{3}}{1-6x^2+2x\sqrt{3}}}{1+\frac{3x-x^3}{1-3x^2}\cdot \frac{6x-\sqrt{3}}{1-6x^2+2x\sqrt{3}} }[/tex3]

[tex3]tg(6E) = \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex3]

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[tex3]tg(6E) = \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex3]

[tex3]E = 5^o [/tex3]

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[tex3]E = 5^o [/tex3]

Uma outra forma, que dá mais conta(fazendo a substituição que o Italo fez, daria menos conta), mas é que eu acabo sempre usando é

[tex3]E=\frac12\arctg\left(\frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt{3}}\right)-\frac13\arctg\left(\frac{2\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt 3}\right)[/tex3]

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[tex3]E=\frac12\arctg\left(\frac{\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt{3}}\right)-\frac13\arctg\left(\frac{2\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt 3}\right)[/tex3]

[tex3]6E=3\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt 3}\)-2\arctg\(\frac{2\sqrt[3]2+1}{\sqrt 3}\)[/tex3]

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[tex3]6E=3\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt 3}\)-2\arctg\(\frac{2\sqrt[3]2+1}{\sqrt 3}\)[/tex3]

[tex3]6E=\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)+2\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)-2\arctg\(\frac{2\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)[/tex3]

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[tex3]6E=\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)+2\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)-2\arctg\(\frac{2\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)[/tex3]

[tex3]6E=\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)+2\(\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)-\arctg\(\frac{2\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)\)[/tex3]

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[tex3]6E=\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)+2\(\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)-\arctg\(\frac{2\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)\)[/tex3]

Seja [tex3]z := \sqrt3 +i(\sqrt[3]2+1) [/tex3]

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[tex3]z := \sqrt3 +i(\sqrt[3]2+1) [/tex3]

e [tex3]w := \sqrt3 + i(2\sqrt[3]2+1)[/tex3]

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[tex3]w := \sqrt3 + i(2\sqrt[3]2+1)[/tex3]

[tex3]\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)-\arctg\(\frac{2\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\) = \arg\(\frac{z}{w}\)=\arctg\(\frac{\sqrt[3]2\sqrt3}{-4-3\sqrt[3]2-2\sqrt[3]4}\)[/tex3]

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[tex3]\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)-\arctg\(\frac{2\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\) = \arg\(\frac{z}{w}\)=\arctg\(\frac{\sqrt[3]2\sqrt3}{-4-3\sqrt[3]2-2\sqrt[3]4}\)[/tex3]

[tex3]6E=\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)+2\arctg\(\frac{\sqrt[3]2\sqrt3}{-4-3\sqrt[3]2-2\sqrt[3]4}\)[/tex3]

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[tex3]6E=\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)+2\arctg\(\frac{\sqrt[3]2\sqrt3}{-4-3\sqrt[3]2-2\sqrt[3]4}\)[/tex3]

[tex3]6E=\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)+\arctg\(\frac{\sqrt[3]2\sqrt3}{-4-3\sqrt[3]2-2\sqrt[3]4}\) + \arctg\(\frac{\sqrt[3]2\sqrt3}{-4-3\sqrt[3]2-2\sqrt[3]4}\)[/tex3]

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[tex3]6E=\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)+\arctg\(\frac{\sqrt[3]2\sqrt3}{-4-3\sqrt[3]2-2\sqrt[3]4}\) + \arctg\(\frac{\sqrt[3]2\sqrt3}{-4-3\sqrt[3]2-2\sqrt[3]4}\)[/tex3]

Mas, [tex3]\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)+\arctg\(\frac{\sqrt[3]2\sqrt3}{-4-3\sqrt[3]2-2\sqrt[3]4}\) = \arg(zw) = \arctg\(\frac{2+4\sqrt[3]2-\sqrt[3]4}{\sqrt 3(2+\sqrt[3]4)}\)[/tex3]

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[tex3]\arctg\(\frac{\sqrt[3]2+1}{\sqrt3}\)+\arctg\(\frac{\sqrt[3]2\sqrt3}{-4-3\sqrt[3]2-2\sqrt[3]4}\) = \arg(zw) = \arctg\(\frac{2+4\sqrt[3]2-\sqrt[3]4}{\sqrt 3(2+\sqrt[3]4)}\)[/tex3]

.

[tex3]6E= \arctg\(\frac{2+4\sqrt[3]2-\sqrt[3]4}{\sqrt 3(2+\sqrt[3]4)}\) + \arctg\(\frac{\sqrt[3]2\sqrt3}{-4-3\sqrt[3]2-2\sqrt[3]4}\)[/tex3]

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[tex3]6E= \arctg\(\frac{2+4\sqrt[3]2-\sqrt[3]4}{\sqrt 3(2+\sqrt[3]4)}\) + \arctg\(\frac{\sqrt[3]2\sqrt3}{-4-3\sqrt[3]2-2\sqrt[3]4}\)[/tex3]

Mesma técnica, vem que [tex3]\arctg\(\frac{2+4\sqrt[3]2-\sqrt[3]4}{\sqrt 3(2+\sqrt[3]4)}\) + \arctg\(\frac{\sqrt[3]2\sqrt3}{-4-3\sqrt[3]2-2\sqrt[3]4}\) = \arctg \frac{1}{\sqrt 3}[/tex3]

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[tex3]\arctg\(\frac{2+4\sqrt[3]2-\sqrt[3]4}{\sqrt 3(2+\sqrt[3]4)}\) + \arctg\(\frac{\sqrt[3]2\sqrt3}{-4-3\sqrt[3]2-2\sqrt[3]4}\) = \arctg \frac{1}{\sqrt 3}[/tex3]

[tex3]6E = \frac{\pi}{6}[/tex3]

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[tex3]6E = \frac{\pi}{6}[/tex3]

[tex3]E = \frac{\pi}{36} \ \blacksquare[/tex3]

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[tex3]E = \frac{\pi}{36} \ \blacksquare[/tex3]

caju, muito feliz que a opção de agradecimento voltou...

Obgda Ittalo25, NigrumCibum, FelipeMartin, snooplammer pela colaboração

csmarcelo escreveu: ↑

Sex 22 Jan, 2021 10:05

caju, muito feliz que a opção de agradecimento voltou...

vdd csmarcelo, isso é ótimo!