Ensino Médio(ENEM 2019) Formação de Grupos Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
magben
Veterano
Mensagens: 278
Registrado em: Qui 27 Set, 2018 20:27
Última visita: 25-02-21
Jan 2021 19 09:10

(ENEM 2019) Formação de Grupos

Mensagem não lida por magben »

Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos. De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas?

A) 69
B) 70
C) 90
D) 104
E) 105

Última edição: MateusQqMD (Ter 19 Jan, 2021 11:45). Total de 1 vez.
Razão: arrumar título.



Avatar do usuário
MateusQqMD
6 - Doutor
Mensagens: 2647
Registrado em: Qui 16 Ago, 2018 19:15
Última visita: 25-02-21
Localização: Fortaleza
Jan 2021 19 11:40

Re: (ENEM 2019) Formação de Grupos

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Olá, magben.

A ideia do problema é divisão em grupos.

O primeiro grupo pode ser escolhido de [tex3]C^2_8[/tex3] modos. Escolhido o primeiro grupo, sobram [tex3]6[/tex3] pessoas para formarem os outros grupos. Assim, o segundo grupo pode ser escolhido de [tex3]C^2_6[/tex3] modos. De forma análoga, o terceiro e o quarto grupo pode ser formados, respectivamente, de [tex3]C^2_4 [/tex3] e [tex3]C^2_2[/tex3] modos.

A resposta aparenta ser [tex3]C^2_8 \times C^2_6 \times C^2_4 \times C^2_2.[/tex3] Entretanto, contamos cada divisão [tex3]4![/tex3] vezes ! Por exemplo, a divisão [tex3]\{a, \, b\}[/tex3] [tex3]\{c, \, d\}[/tex3] [tex3]\{e, \, f\}[/tex3] [tex3]\{g, \, h\}[/tex3] é idêntica a [tex3]\{c, \, d\}[/tex3] [tex3]\{e, \, f\}[/tex3] [tex3]\{a, \, b\}[/tex3] [tex3]\{g, \, h\},[/tex3] isto é, foram contadas como distintas apenas pelo fato de termos formados os grupos em ordens diferentes. Como é possível formar esses grupos em [tex3]4![/tex3] ordens, cada divisão em grupos foi contada [tex3]4![/tex3] vezes.

No entanto, ainda há um problema: há grupos que possuem os dois canhotos juntos ! Para contarmos esses casos, basta sabermos de quantos modos podemos formar 3 grupos de 2 pessoas cada (basta formamos os outros grupos, pois os canhotos já formam um dos grupos). Usando o mesmo raciocínio mostrado anteriormente, isso pode ser feito de [tex3]\frac{C^2_6 \times C^2_4 \times C^2_2}{3!}.[/tex3]

A resposta é [tex3]\frac{C^2_8 \times C^2_6 \times C^2_4 \times C^2_2}{4!} - \frac{C^2_6 \times C^2_4 \times C^2_2}{3!} = 105 - 15 = 90.[/tex3]



"Make us to choose the harder right instead of the easier wrong and never to be content with a half truth when the whole truth can be won."

Avatar do usuário
MateusQqMD
6 - Doutor
Mensagens: 2647
Registrado em: Qui 16 Ago, 2018 19:15
Última visita: 25-02-21
Localização: Fortaleza
Jan 2021 19 11:43

Re: (ENEM 2019) Formação de Grupos

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Há uma solução em vídeo feita pelo professor Caju pra esse problema no canal do Tutorbrasil no youtube: https://www.youtube.com/watch?v=PPXxcqo2ex0

Muito provavelmente a resolução foi feita da mesma forma que mostrei acima, ou por Permutação Simples, mas com certeza é bem mais didática do que a leitura de texto.. recomendo que dê uma olhada.


"Make us to choose the harder right instead of the easier wrong and never to be content with a half truth when the whole truth can be won."

Avatar do usuário
csmarcelo
6 - Doutor
Mensagens: 4871
Registrado em: Sex 22 Jun, 2012 22:03
Última visita: 25-02-21
Jan 2021 19 12:12

Re: (ENEM 2019) Formação de Grupos

Mensagem não lida por csmarcelo »

Eu estava tentando resolver de outra forma, mas sem entender porque estava falhando. A solução do MateusQqMD me fez perceber o meu erro.

Se os canhotos não podem ficar no mesmo grupo, então já os separamos.

Grupo A: canhoto 1 e destro ?
Grupo B: canhoto 2 e destro ?
Grupo C: destro ? e destro ?
Grupo D: destro ? e destro ?

Agora, da mesma forma que o Mateus fez, calculamos os grupos sem os canhotos:

[tex3]\frac{C^2_6 \times C^2_4 \times C^2_2}{3!}=15[/tex3]

Daí, o que vai acontecer é que um dos três grupos formados não é o grupo final. Cada uma das duas pessoas desse grupo formará par com um dos canhotos. Isso pode ser feito de [tex3]\underbrace{C^3_1}_{\text{escolha de um dos três pares}}\cdot\underbrace{2!}_{\text{permutação dos destros nos grupos dos canhotos}}=6[/tex3] maneiras.

[tex3]15\cdot6=90[/tex3]



Avatar do usuário
Autor do Tópico
magben
Veterano
Mensagens: 278
Registrado em: Qui 27 Set, 2018 20:27
Última visita: 25-02-21
Jan 2021 19 12:31

Re: (ENEM 2019) Formação de Grupos

Mensagem não lida por magben »

csmarcelo, achei essa questão muito confusa.




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Médio”