Ensino Médio ⇒ Trigonometria

[Nonmultased]

Se o [tex3]\cos(2x)=\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]\cos(2x)=\frac{1}{3}[/tex3]

, onde x [tex3]\in(0,\Pi ) [/tex3]

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[tex3]\in(0,\Pi ) [/tex3]

, calcule o valor de y=[tex3]\frac{sen(3x)-sen(x)}{cos(2x)}[/tex3]

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[tex3]\frac{sen(3x)-sen(x)}{cos(2x)}[/tex3]

Resposta

---

2.[tex3]\frac{\sqrt[]{3}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt[]{3}}{3}[/tex3]

[csmarcelo]

Fórmula do seno do arco triplo:

[tex3]\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)−4\sin^3(\alpha)[/tex3]

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[tex3]\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)−4\sin^3(\alpha)[/tex3]

Assim,

[tex3]y=\frac{\sin(3x)-\sin(x)}{\cos(2x)}=\frac{3\sin(x)−4\sin^3(x)-\sin(x)}{\cos(2x)}=\frac{2\sin(x)−4\sin^3(x)}{\cos(2x)}[/tex3]

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[tex3]y=\frac{\sin(3x)-\sin(x)}{\cos(2x)}=\frac{3\sin(x)−4\sin^3(x)-\sin(x)}{\cos(2x)}=\frac{2\sin(x)−4\sin^3(x)}{\cos(2x)}[/tex3]

Pela fórmula do arco metade

[tex3]\cos(x)=\sqrt{\frac{1+\cos(2x)}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex3]

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[tex3]\cos(x)=\sqrt{\frac{1+\cos(2x)}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex3]

Pela Lei Fundamental da Trigonometria

[tex3]\sin(x)^2+\frac{\sqrt{6}}{3}=1[/tex3]

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[tex3]\sin(x)^2+\frac{\sqrt{6}}{3}=1[/tex3]

Logo,

[tex3]\sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

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[tex3]\sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Assim,

[tex3]y=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}−4\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)^3}{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex3]

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[tex3]y=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}−4\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)^3}{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}[/tex3]