Ensino Médio ⇒ Trigonometria Tópico resolvido

[Nonmultased]

Calcule a soma das soluções das equações [tex3]arctg(\frac{x}{2}) + arctg(\frac{x}{3}) = arctg(\frac{1}{5})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]arctg(\frac{x}{2}) + arctg(\frac{x}{3}) = arctg(\frac{1}{5})[/tex3]

Resposta

---

-25

[A13235378]

Olá,

Considere

[tex3]arctg(\frac{x}{2})=y\rightarrow tg(y)=\frac{x}{2}[/tex3]

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[tex3]arctg(\frac{x}{2})=y\rightarrow tg(y)=\frac{x}{2}[/tex3]

[tex3]arctg(\frac{x}{3})=z\rightarrow tg(z)=\frac{x}{3}[/tex3]

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[tex3]arctg(\frac{x}{3})=z\rightarrow tg(z)=\frac{x}{3}[/tex3]

[tex3]arctg(\frac{1}{5})=w\rightarrow tg(w)=\frac{1}{5}[/tex3]

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[tex3]arctg(\frac{1}{5})=w\rightarrow tg(w)=\frac{1}{5}[/tex3]

Aplicando tangente em ambos os lados:

[tex3]tg(arctg(\frac{x}{2})+arctg(\frac{x}{3}))=tg(arctg(\frac{1}{5}))\rightarrow tg(y+z)=tg(w)\rightarrow \frac{tg(y)+tg(z)}{1-tg(y)tg(z)}=tg(w)[/tex3]

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[tex3]tg(arctg(\frac{x}{2})+arctg(\frac{x}{3}))=tg(arctg(\frac{1}{5}))\rightarrow tg(y+z)=tg(w)\rightarrow \frac{tg(y)+tg(z)}{1-tg(y)tg(z)}=tg(w)[/tex3]

[tex3]\rightarrow \frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{3}}{1-\frac{x}{2}.\frac{x}{3}}=\frac{1}{5}\rightarrow \frac{5x}{6-x^2}=\frac{1}{5}\rightarrow 6-x^2=25x\rightarrow x^2+25x-6=0[/tex3]

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[tex3]\rightarrow \frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{3}}{1-\frac{x}{2}.\frac{x}{3}}=\frac{1}{5}\rightarrow \frac{5x}{6-x^2}=\frac{1}{5}\rightarrow 6-x^2=25x\rightarrow x^2+25x-6=0[/tex3]

Soma = -25

[snooplammer]

Primeiro, note que [tex3]\arctan \frac{b}{a} = \arg(a+bi)[/tex3]

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[tex3]\arctan \frac{b}{a} = \arg(a+bi)[/tex3]

.

Temos então que [tex3]\arctan \frac{x}{2} + \arctan\frac{x}{3} = \arctan\frac{1}{5}[/tex3]

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[tex3]\arctan \frac{x}{2} + \arctan\frac{x}{3} = \arctan\frac{1}{5}[/tex3]

implica em [tex3]\arg\[(2+xi)(3+xi)\] =\arg( 5+i)[/tex3]

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[tex3]\arg\[(2+xi)(3+xi)\] =\arg( 5+i)[/tex3]

[tex3]\arg(6-x^2+i5x) =\arg( 5+i)[/tex3]

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[tex3]\arg(6-x^2+i5x) =\arg( 5+i)[/tex3]

[tex3]\arctan \frac{5x}{6-x^2} = \arctan\frac{1}{5}[/tex3]

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[tex3]\arctan \frac{5x}{6-x^2} = \arctan\frac{1}{5}[/tex3]

[tex3]\tan\(\arctan \frac{5x}{6-x^2}\) = \tan \( \arctan\frac{1}{5}\) [/tex3]

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[tex3]\tan\(\arctan \frac{5x}{6-x^2}\) = \tan \( \arctan\frac{1}{5}\) [/tex3]

. Disso vem que [tex3]\frac{5x}{6-x^2} = \frac{1}{5}[/tex3]

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[tex3]\frac{5x}{6-x^2} = \frac{1}{5}[/tex3]

[tex3]25x = 6-x^2 \implies x^2+25x-6=0[/tex3]

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[tex3]25x = 6-x^2 \implies x^2+25x-6=0[/tex3]

A soma é [tex3]-25[/tex3]

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[tex3]-25[/tex3]

[tex3]\blacklozenge[/tex3]

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[tex3]\blacklozenge[/tex3]