Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica - UFC Tópico resolvido

[Gabrielle3G]

(Ufc) Um segmento de reta desloca-se no plano
cartesiano de tal forma que uma de suas
extremidades permanece sempre no eixo y e o seu
ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a
sua outra extremidade desloca-se ao longo de uma:
a) circunferência.
b) parábola.
c) reta.
d) elipse.
e) hipérbole.

Resposta

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Forma-se uma elipse

[snooplammer]

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Pela geometria da figura, vem que [tex3]B(2x,-y)=B(2k\cos t, -\sen t)[/tex3]

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[tex3]B(2x,-y)=B(2k\cos t, -\sen t)[/tex3]

, teríamos então uma curva [tex3]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex3]

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[tex3]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex3]

tal que [tex3]f(t) = (2k\cos t, -k\sen t)[/tex3]

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[tex3]f(t) = (2k\cos t, -k\sen t)[/tex3]

. Seja [tex3]x(t) = 2k\cos t[/tex3]

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[tex3]x(t) = 2k\cos t[/tex3]

e [tex3]y(t) = -k\sen t[/tex3]

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[tex3]y(t) = -k\sen t[/tex3]

. Vem que [tex3]\frac{x^2(t)}{4k^2}+\frac{y^2(t)}{k^2} = 1[/tex3]

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[tex3]\frac{x^2(t)}{4k^2}+\frac{y^2(t)}{k^2} = 1[/tex3]

. Sem perda de generalidade, tome [tex3]k = 1[/tex3]

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[tex3]k = 1[/tex3]

, segue que [tex3]\frac{x^2(t)}{4}+y^2(t)= 1[/tex3]

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[tex3]\frac{x^2(t)}{4}+y^2(t)= 1[/tex3]

, mas essa é a equação da elipse . Deixo para você verificar que o conjunto dado pela elipse é de fato o percurso de B.